Cho lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $I$ là giao điểm của hai đường thẳng $A{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }B$. Đặt $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{a},\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AC}=\vec{c}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ gốc tại $A$. Vì $I$ là giao hai đường chéo $A{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }B$ của hình bình hành $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ nên $I$ là trung điểm của $A^{\prime }B$, do đó $\overrightarrow{AI}=\frac{\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}}{2}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$. Trọng tâm tam giác $ABC$ cho $\overrightarrow{AG}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{3}$. Suy ra $\overrightarrow{GI}=\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AG}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}-\frac{\vec{b}+\vec{c}}{3}=\frac{3\vec{a}+3\vec{b}-2\vec{b}-2\vec{c}}{6}=\frac{1}{6}\left(3\vec{a}+\vec{b}-2\vec{c}\right)$. Vậy đáp án C (độc lập kiểm tra lại, khớp với đáp án nguồn).