Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn $$2^{2x^2+y^2-8y}+\left(x^2+y^2-8y\right){\log }_2\left(x^2+y^2+4\right)\le 2^{x^2}?$$

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $s=x^2+y^2-8y=x^2+(y-4{)}^2-16$, khi đó $x^2+y^2+4=s+20>0$ và bất phương trình trở thành $$2^{x^2+s}+s{\log }_2(s+20)\le 2^{x^2}⟺2^{x^2}(2^s-1)\le -s{\log }_2(s+20).$$

Trường hợp $s\ge 0$: vế trái $\ge 0$, vế phải $\le 0$, nên cần $s=0$ (khi đó hai vế cùng bằng 0). Vậy $x^2+(y-4{)}^2=16$ cho các nghiệm nguyên $(0,0),(0,8),(4,4),(-4,4)$: 4 nghiệm.

Trường hợp $s<0$: đặt $s=-k$ với $k\ge 1$, bất phương trình là $2^{x^2-k}-k{\log }_2(20-k)\le 2^{x^2}$, luôn đúng vì $2^{x^2-k}<2^{x^2}$ và trừ thêm số dương. Vậy mọi điểm nguyên bên trong đường tròn $x^2+(y-4{)}^2<16$ đều thỏa.

Đếm điểm nguyên với $x^2+v^2\le 15$ ($v=y-4$): $x=0$: $v=-\mathrm{3..3}$ (7 điểm); $x=\pm 1$: 7 điểm mỗi giá trị; $x=\pm 2$: 7 điểm mỗi giá trị; $x=\pm 3$: $v=-\mathrm{2..2}$ (5 điểm mỗi giá trị). Tổng $7+14+14+10=45$ điểm. Cộng thêm 4 điểm trên biên $s=0$ ta được $45+4=49$ cặp $(x;y)$.