Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dãy số (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại dãy: $\frac{1}{2},\frac{3}{5},\frac{2}{3},\frac{5}{7},\dots =\frac{1}{2},\frac{3}{5},\frac{4}{6},\frac{5}{7},\dots$ (vì $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$). Xét đáp án C: với $u_n=\frac{n+1}{n+3}$ ta có $u_1=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$, $u_2=\frac{3}{5}$, $u_3=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$, $u_4=\frac{5}{7}$, khớp với dãy đã cho. Các đáp án A, B, D không khớp (A cho $u_2=\frac{2}{3}$, D cho $u_1=\frac{2}{3}$, B cho $u_1=\frac{1}{2}$ nhưng $u_2=\frac{1}{2}$). Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy có $u_1=0,1=\frac{1}{10}$, $u_2=0,01=\frac{1}{10^2}$, $u_3=0,001=\frac{1}{10^3}$, nên $u_n=\frac{1}{10^n}$. Về dạng thập phân, $u_n=0,\underset{n-1\text{ soˆˊ }0}{\underbrace{00\dots 0}}1$ (ví dụ $n=1$: $0,1$ có 0 số 0; $n=2$: $0,01$ có 1 số 0). Do đó đáp án B. Lưu ý C sai vì $\frac{1}{10^{n-1}}$ cho $u_1=1$; D sai vì $\frac{1}{10^{n+1}}$ cho $u_1=0,001$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_n=\frac{4n+5}{n+1}=4+\frac{1}{n+1}$. a) $u_1=\frac{9}{2}$ đúng. b) $u_1=\frac{9}{2},u_2=\frac{13}{3},u_3=\frac{17}{4}$, tổng $=\frac{54+52+51}{12}=\frac{157}{12}$ không nguyên, sai. c) $u_{20}=4+\frac{1}{21}=\frac{85}{21}$ đúng. d) Vì $0<\frac{1}{n+1}\le \frac{1}{2}$ nên $4<u_n\le \frac{9}{2}$, dãy bị chặn trên (ví dụ $M=\frac{9}{2}$), đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=\frac{4\cdot 1+5}{1+1}=\frac{9}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_1+u_2+u_3=\frac{9}{2}+\frac{13}{3}+\frac{17}{4}=\frac{157}{12}$ không phải số nguyên.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_{20}=\frac{85}{21}=4+\frac{1}{21}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=4+\frac{1}{n+1}\le \frac{9}{2}$ với mọi $n\ge 1$, nên dãy bị chặn trên.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hiệu $u_{n+1}-u_n$ cho từng dãy:
- A: $u_n=2n$, $u_{n+1}-u_n=2>0$ nên dãy tăng.
- B: $u_n=\frac{2n+3}{n+1}$, ta có $u_{n+1}-u_n=\frac{2n+5}{n+2}-\frac{2n+3}{n+1}=\frac{(2n+5)(n+1)-(2n+3)(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\frac{(2n^2+7n+5)-(2n^2+7n+6)}{(n+1)(n+2)}=\frac{-1}{(n+1)(n+2)}<0$ với mọi $n\ge 1$, nên dãy giảm.
- C: $u_n=n^3-1$ tăng vì $n^3$ tăng.
- D: $u_n=n^2$ tăng.
Vậy dãy giảm là dãy ở phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: $u_n=n^2$ tăng vô hạn nên không bị chặn; $u_n=2^n$ tăng vô hạn nên không bị chặn; $u_n=\sqrt{n+1}$ tăng vô hạn nên không bị chặn. Với $u_n=\frac{1}{n}$: với mọi $n\ge 1$ ta có $0<\frac{1}{n}\le 1$, tức $|u_n|\le 1$, nên dãy bị chặn (bị chặn trên bởi 1 và bị chặn dưới bởi 0). Vậy dãy bị chặn là $u_n=\frac{1}{n}$, đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Với $u_n=n^2-n+2$: $u_1=2$, $u_4=16-4+2=14$, $u_5=25-5+2=22$, $u_6=36-6+2=32$, $u_7=49-7+2=44$. a) $u_n\to +\infty$ khi $n\to \infty$ nên dãy không bị chặn → sai. b) $u_4=14$ → đúng. c) Cần $u_k^2=u_1\cdot u_6=2\cdot 32=64\Rightarrow u_k=8\Rightarrow k^2-k+2=8\Rightarrow k^2-k-6=0\Rightarrow k=3$ (nhận, $k=-2$ loại). Vậy tồn tại duy nhất $k=3$ → đúng. d) Cần $u_1+u_7=2u_5$: $2+44=46\ne 2\cdot 22=44$ → không lập thành cấp số cộng → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=n^2-n+2\to +\infty$ khi $n\to \infty$ (ví dụ $u_{10}=92$), nên dãy không bị chặn trên, do đó không phải dãy bị chặn.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_4=4^2-4+2=14$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=2$, $u_6=32$. Cấp số nhân yêu cầu $u_k^2=u_1{u}_6=64\Rightarrow u_k=8\Rightarrow k^2-k-6=0\Rightarrow k=3$ (duy nhất, $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$).
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=2$, $u_5=22$, $u_7=44$. Kiểm tra $u_1+u_7=46\ne 2u_5=44$, nên ba số hạng không lập thành cấp số cộng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hiệu $u_{n+1}-u_n$ với mỗi dãy:
- A: $u_n=n^2$, $u_{n+1}-u_n=(n+1{)}^2-n^2=2n+1>0$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, nên dãy tăng.
- B: $u_n=2014-2n$, $u_{n+1}-u_n=-2<0$, nên dãy giảm, không phải dãy tăng.
- C: $u_n=2n+1$, $u_{n+1}-u_n=2>0$, nên dãy tăng.
- D: $u_n=3n^2-2$, $u_{n+1}-u_n=3(2n+1)>0$, nên dãy tăng.
Vậy dãy không tăng là $u_n=2014-2n$, đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\frac{1}{k(k+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)$, nên $u_n=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}\right)$. Dãy tăng và $0<u_n<\frac{3}{4}$ với mọi $n$, nên dãy bị chặn (cả trên lẫn dưới). Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A) $u_n=\frac{1}{2^{-n}}=2^n$ tăng vô hạn nên không bị chặn trên. B) $u_n=3n+2\to +\infty$ không bị chặn trên. C) $u_n=1-2n$ giảm dần, với mọi $n\ge 1$ ta có $u_n\le u_1=-1$, nên dãy bị chặn trên bởi $-1$. D) $u_n=\frac{n^2}{n+1}=n-1+\frac{1}{n+1}\to +\infty$ không bị chặn trên. Vậy dãy bị chặn trên là $u_n=1-2n$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $u_n=\frac{n}{2n+1}$: a) $u_1=\frac{1}{3}$ đúng. b) Với mọi $n\ge 1$, $0<u_n<\frac{1}{2}$ nên dãy bị chặn, đúng. c) $u_4=\frac{4}{9}$ đúng nhưng $u_5=\frac{5}{11}\ne \frac{5}{10}$ nên sai. d) Số hạng thứ 199 là $u_{199}=\frac{199}{399}\ne \frac{199}{401}$ nên sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=\frac{1}{2\cdot 1+1}=\frac{1}{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với mọi $n\ge 1$: $0<u_n=\frac{n}{2n+1}<\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}$, nên dãy bị chặn (bị chặn dưới bởi 0 và trên bởi $\frac{1}{2}$).
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_4=\frac{4}{9}$ đúng, nhưng $u_5=\frac{5}{2\cdot 5+1}=\frac{5}{11}\ne \frac{5}{10}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số hạng thứ 199 là $u_{199}=\frac{199}{2\cdot 199+1}=\frac{199}{399}\ne \frac{199}{401}$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $u_n=\frac{2n-1}{n+1}$: a) $u_1=\frac{2-1}{2}=\frac{1}{2}$ đúng. b) $u_2=\frac{3}{3}=1$ đúng nhưng $u_3=\frac{5}{4}\ne \frac{5}{3}$ nên sai. c) $u_{152}=\frac{2\cdot 152-1}{153}=\frac{303}{153}=\frac{101}{51}\ne \frac{301}{152}$ nên sai. d) $u_n=\frac{2n-1}{n+1}=2-\frac{3}{n+1}$, dãy tăng và $\frac{1}{2}\le u_n<2$ với mọi $n$, nên dãy bị chặn, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=\frac{2\cdot 1-1}{1+1}=\frac{1}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_2=\frac{3}{3}=1$ đúng, nhưng $u_3=\frac{5}{4}\ne \frac{5}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_{152}=\frac{303}{153}=\frac{101}{51}\ne \frac{301}{152}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=2-\frac{3}{n+1}$ nên $\frac{1}{2}\le u_n<2$, dãy bị chặn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A) $u_n=n^2$ tăng vô hạn, không bị chặn trên. B) $u_n=\sqrt{n+1}$ tăng vô hạn, không bị chặn. C) $u_n=\frac{1}{n}$ với mọi $n\ge 1$ thỏa $0<u_n\le 1$, nên bị chặn (chặn dưới 0, chặn trên 1). D) $u_n=2^n$ tăng vô hạn, không bị chặn. Vậy dãy bị chặn là $u_n=\frac{1}{n}$, khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A) $u_n=\sqrt{n^2+1}>n$ nên không bị chặn trên. B) $u_n=\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}$ nên $\frac{1}{2}\le u_n<1$ với mọi $n\ge 1$, dãy bị chặn. C) $u_n=2^n+1\to +\infty$, không bị chặn. D) $u_n=n+\frac{1}{n}\to +\infty$, không bị chặn. Vậy dãy bị chặn là $u_n=\frac{n}{n+1}$, khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 111, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{3n+5}-\frac{1}{3n+2}=\frac{(3n+2)-(3n+5)}{(3n+2)(3n+5)}=\frac{-3}{(3n+2)(3n+5)}<0$ với mọi $n\ge 1$. Vậy dãy số giảm. Đáp án D, khớp với bảng đáp án mã đề 1112 (câu 9: D).

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 102 (Phần II, Câu 2): a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $n=15$: $u_{15}=\frac{15a+5}{3\cdot 15-7}=\frac{15a+5}{38}=\frac{53}{8}$. Suy ra $15a+5=\frac{38\cdot 53}{8}=\frac{2014}{8}=251,75$, nên $15a=246,75$, $a=16,45$. Làm tròn tới hàng đơn vị: $a\approx 16$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (16).

Xét phương trình $\frac{20}{101}=\frac{2n}{n^2+1}\iff 20n^2+20=202n\iff n=10$.

Chọn C. Ta có: $u_n=1-\frac{2}{3n+1}<1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy với $n\ge 2$ (để các số hạng xác định):
- A: $u_n=\frac{2n+1}{n-1}$. Ta có $u_{n+1}-u_n=\frac{2n+3}{n}-\frac{2n+1}{n-1}=\frac{(2n+3)(n-1)-(2n+1)n}{n(n-1)}=\frac{2n^2+n-3-2n^2-n}{n(n-1)}=\frac{-3}{n(n-1)}<0$ với mọi $n\ge 2$. Vậy dãy A giảm.
- B: $u_n=2n$ tăng vì $u_{n+1}-u_n=2>0$.
- C: $u_n=n^2$ tăng vì $u_{n+1}-u_n=2n+1>0$.
- D: $u_n=n^3-1$ tăng vì $u_{n+1}-u_n=3n^2+3n+1>0$.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: A.