Cho hai hàm số $y=a^{x-1},y={\log }_a(ax)$ với $a>1$ và điểm $I(-2;-1)$. Gọi $A$ là điểm chung của đồ thị hai hàm số đã cho và $IA=5$. Tính khoảng cách từ $A$ tới gốc tọa độ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Hai hàm số $y=a^{x-1}$ và $y={\log }_a(ax)=1+{\log }_{a}x$ là hai hàm ngược nhau (đồ thị đối xứng qua $y=x$), đồng thời cùng tăng nên điểm chung $A$ nằm trên đường thẳng $y=x$. Đặt $A(t;t)$. Vì $A$ thuộc đồ thị $y=a^{x-1}$ nên $t=a^{t-1}$, suyra $a=t^{1/(t-1)}$; điều kiện $a>1$ yêu cầu $t>1$. Từ $IA=5$: $(t+2{)}^2+(t+1{)}^2=25\iff 2t^2+6t-20=0\iff t^2+3t-10=0\iff t=2$ (nhận, $t>1$) hoặc $t=-5$ (loại). Khi đó $a=2^1=2>1$ thỏa mãn. Khoảng cách từ $A(2;2)$ đến gốc tọa độ: $OA=2\sqrt{2}\approx 2,83$. Đáp án C.