Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=x(x+2)(x+3),\forall x\in \mathbb{R}$ và $f(1)+f(-2)=f(3)+f(0)$. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[-2;3]$ lần lượt là

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=x(x+2)(x+3)$ trên đoạn $[-2;3]$: với $x\in (-2;0)$ thì $x<0$, $x+2>0$, $x+3>0$ nên $f^{\prime }(x)<0$; với $x\in (0;3)$ thì cả ba thừa số dương nên $f^{\prime }(x)>0$. Vậy hàm số giảm trên $[-2;0]$ và tăng trên $[0;3]$, đạt cực tiểu tại $x=0$, do đó ${\min }_{[-2;3]}f=f(0)$. Giá trị lớn nhất là max của $f(-2)$ và $f(3)$. Từ giả thiết $f(1)+f(-2)=f(3)+f(0)$ suy ra $f(3)-f(-2)=f(1)-f(0)$. Vì $f$ giảm trên $[-2;0]$ nên $f(0)>f(1)$, do đó $f(1)-f(0)<0$, tức $f(3)<f(-2)$. Vậy ${\max }_{[-2;3]}f=f(-2)$. Kết luận: giá trị nhỏ nhất $f(0)$, giá trị lớn nhất $f(-2)$ → đáp án A.