Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(3;4;-1),B(-1;2;3),C(3;4;4)$. Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ thỏa mãn $M{A}^2+M{B}^2-2\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}+{\left(\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}\right)}^2=36$. Khi đó $MC$ đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $M{A}^2+M{B}^2-2\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=|\overrightarrow{AB}{|}^2=16+4+16=36$. Do đó phương trình trở thành $36+{\left(\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}\right)}^2=36\Rightarrow \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$, tức $\angle AMB=90^{\circ }$: tập hợp $M$ là đường tròn đường kính $AB$. Với $M(x;y;0)$ thuộc $(Oxy)$: $(3-x)(-1-x)+(4-y)(2-y)+(-1)(3)=0\iff x^2+y^2-2x-6y+2=0\iff (x-1{)}^2+(y-3{)}^2=8$. Vậy $M$ thuộc đường tròn tâm $I(1;3;0)$ bán kính $r=2\sqrt{2}$ trong mặt phẳng $(Oxy)$. Parametrize $M(1+2\sqrt{2}\cos t;3+2\sqrt{2}\sin t;0)$. Khi đó $M{C}^2=(x-3{)}^2+(y-4{)}^2+16=29-8\sqrt{2}\cos t-4\sqrt{2}\sin t\le 29+\sqrt{128+32}=29+4\sqrt{10}\approx 41,649$. Suy ra $M{C}_{\max }=\sqrt{29+4\sqrt{10}}\approx 6,45\approx 6,5$. (Lưu ý: không thể dùng $CI+r$ vì $C$ không nằm trong mặt phẳng đường tròn.) Đáp án C.