Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua điểm $(0;1)$, đạt giá trị lớn nhất bằng 1 tại $x=0$ và $x=\pm 2\pi$, cắt trục hoành tại $x=\pm \frac{\pi }{2},\pm \frac{3\pi }{2}$, có dạng sóng tuần hoàn chu kỳ $2\pi$, đối xứng qua trục tung. Đó là đồ thị hàm số $y=\cos x$. Đồ thị $y=\sin x$ đi qua gốc $O$ nên loại A; tan và cot có tiệm cận đứng nên loại C, D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị ở Câu 18 đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$, đạt giá trị lớn nhất bằng 1 tại $x=\frac{\pi }{2}$ và giá trị nhỏ nhất bằng $-1$ tại $x=-\frac{\pi }{2}$, $x=\frac{3\pi }{2}$. Đây chính là các đặc điểm của đồ thị hàm số $y=\sin x$: hàm lẻ nên đồ thị đi qua gốc tọa độ, $\sin \frac{\pi }{2}=1$, $\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)=-1$. Với $y=-\sin x$ thì tại $x=\frac{\pi }{2}$ hàm số đạt $-1$ (không đúng hình vẽ); với $y=\cos x$ và $y=-\cos x$ thì tại $x=0$ hàm số nhận giá trị $\pm 1$ chứ không bằng 0 (cũng không đúng hình vẽ). Vậy đồ thị là của hàm số $y=\sin x$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\sin x$ và $\cos x$ đều tuần hoàn với chu kì $T=2\pi$ nên đúng. b) $g\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x=f(x)\ne -f(x)$, nên sai. c) $\sin x=\cos x\iff \tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi$, đúng. d) $f(x)-g(x)=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$ có giá trị trong $[-\sqrt{2};\sqrt{2}]$, mà $\sqrt{3}>\sqrt{2}$ nên phương trình vô nghiệm, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x$ và $\cos x$ đều tuần hoàn với chu kì $T=2\pi$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$g\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x=f(x)$, không phải $-f(x)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x=\cos x\iff \tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$, vì $\sqrt{3}>\sqrt{2}$ nên phương trình vô nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: a) Sai vì sin x và cos x có chu kì nhỏ nhất T = 2π, không phải π. b) Đúng vì cos(π/2 − x) = sin x theo công thức lượng giác. c) Đúng vì sin x = cos x ⟺ tan x = 1 ⟺ x = π/4 + kπ, k ∈ ℤ. d) Đúng vì f(x) − g(x) = sin x − cos x = √2 sin(x − π/4) có giá trị trong [−√2, √2], nên phương trình √2 sin(x − π/4) = √2 có nghiệm x = 3π/4 + 2kπ, k ∈ ℤ.
a) (AI giải đề cho tôi)
sin x và cos x tuần hoàn với chu kì nhỏ nhất T = 2π, không phải T = π.
b) (AI giải đề cho tôi)
g(π/2 − x) = cos(π/2 − x) = sin x = f(x).
c) (AI giải đề cho tôi)
sin x = cos x ⟺ tan x = 1 ⟺ x = π/4 + kπ, k ∈ ℤ.
d) (AI giải đề cho tôi)
sin x − cos x = √2 sin(x − π/4) ∈ [−√2, √2]; phương trình = √2 có nghiệm x = 3π/4 + 2kπ, k ∈ ℤ.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3: a) Sai vì $\sin x$ là hàm lẻ, $\cos x$ là hàm chẵn, và cả hai đều tuần hoàn với chu kì $T=2\pi$ chứ không phải $T=\pi$. b) Đúng theo công thức giảm: $f\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x=g(x)$. c) Đúng: $\sin x=\cos x\iff \tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. d) Đúng: $f(x)-g(x)=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$, mà $3>\sqrt{2}$ nên phương trình vô nghiệm.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x$ là hàm lẻ, $\cos x$ là hàm chẵn; chu kì của cả hai là $T=2\pi$, không phải $\pi$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo công thức giảm: $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x=g(x)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x=\cos x\iff \tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$, không thể bằng $3$, nên vô nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Mực nước cao nhất khi $h$ lớn nhất, tức khi $\cos \left(\frac{\pi t}{8}+\frac{\pi }{4}\right)=1$ (khi đó $h=6$ m). Khi đó $\frac{\pi t}{8}+\frac{\pi }{4}=2k\pi \Rightarrow t=16k-2$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $t\in [0;24)$ (trong một ngày): $k=1$ cho $t=14$. Vậy mực nước cao nhất vào thời điểm $t=14$ giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2025}{\sin x}$ xác định khi $\sin x\ne 0$, tức là $x\ne k\pi$ với mọi $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số có đồ thị đối xứng qua trục tung khi hàm số là hàm chẵn: $f(-x)=f(x)$. Xét từng phương án:
- A: $f(-x)=\sin (-x)\cos (-2x)=-\sin x\cos 2x=-f(x)$, hàm lẻ, loại.
- B: $\cos \left(x-\frac{\pi }{2}\right)=\sin x$ nên $f(x)={\sin }^{5}x\cdot \sin x={\sin }^{6}x$. Khi đó $f(-x)={\sin }^6(-x)={\sin }^{6}x=f(x)$, hàm chẵn, đồ thị đối xứng qua trục tung.
- C: $f(-x)=\frac{\tan (-x)}{{\tan }^2(-x)+1}=\frac{-\tan x}{{\tan }^{2}x+1}=-f(x)$, hàm lẻ, loại.
- D: $f(-x)=\cos (-x){\sin }^3(-x)=-\cos x{\sin }^{3}x=-f(x)$, hàm lẻ, loại.
Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Trên khoảng $\left(\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\pi +k2\pi \right)$ (góc phần tư thứ II): $y=\sin x$ nghịch biến (đúng), $y=\cos x$ nghịch biến (đúng), $y=\tan x$ đồng biến trên mọi khoảng xác định (đúng), còn $y=\cot x$ nghịch biến trên mọi khoảng xác định nên khẳng định "$y=\cot x$ đồng biến" là sai. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm số $y=\cos x$. Ta có $y^{\prime }=-\sin x$. Hàm số đồng biến khi $y^{\prime }>0\iff \sin x<0\iff x\in (-\pi +2k\pi ;2k\pi )$. Xét các khoảng: trên $\left(-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2}\right)$ hàm số nghịch biến trên $\left(-\frac{3\pi }{2};-\pi \right)$ nên A sai; trên $\left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)$ hàm số nghịch biến trên $\left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ nên B sai; trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ hàm số nghịch biến nên C sai; trên $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ có $\sin x<0$ nên $y^{\prime }>0$, hàm số đồng biến. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cot \left(2x+\frac{\pi }{5}\right)$ xác định khi $2x+\frac{\pi }{5}\ne k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Suy ra $2x\ne -\frac{\pi }{5}+k\pi$, tức $x\ne -\frac{\pi }{10}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{\pi }{10}+\frac{k\pi }{2}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$, tương ứng với phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\sin x$.
a) $\sin (-x)=-\sin x$ nên hàm số là hàm lẻ, đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ $O$, không phải hàm chẵn đối xứng qua trục $Oy$. Mệnh đề SAI.
b) $\sin (x+2\pi )=\sin x$ với mọi $x$, và $2\pi$ là chu kì nhỏ nhất. Mệnh đề ĐÚNG.
c) $\sin x$ đồng biến trên các khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+2k\pi ;\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)$ và nghịch biến trên $\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi ;\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right)$. Với $k=-1$: nghịch biến trên $\left(-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2}\right)$. Khoảng $\left(-\frac{5\pi }{2};-\frac{3\pi }{2}\right)=\left(-\frac{\pi }{2}-2\pi ;\frac{\pi }{2}-2\pi \right)$ là khoảng đồng biến. Mệnh đề SAI.
d) Giải $\sin x\ge \frac{1}{2}$: $\frac{\pi }{6}+2k\pi \le x\le \frac{5\pi }{6}+2k\pi$. Trong khoảng $\left[-\frac{5\pi }{6};\frac{7\pi }{6}\right]$ chỉ có $k=0$ cho $\frac{\pi }{6}\le x\le \frac{5\pi }{6}$ (các nghiệm với $k\ne 0$ không thuộc khoảng). Mệnh đề ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sin (-x)=-\sin x$, hàm số lẻ, đối xứng qua gốc $O$, không đối xứng qua trục $Oy$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\sin (x+2\pi )=\sin x$, chu kì $2\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\left(-\frac{5\pi }{2};-\frac{3\pi }{2}\right)$ là khoảng đồng biến của $\sin x$; khoảng nghịch biến tương ứng là $\left(-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2}\right)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x\ge \frac{1}{2}\iff \frac{\pi }{6}+2k\pi \le x\le \frac{5\pi }{6}+2k\pi$; trong $\left[-\frac{5\pi }{6};\frac{7\pi }{6}\right]$ chỉ có $k=0$ cho $\frac{\pi }{6}\le x\le \frac{5\pi }{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{\sin x}{1-\cos x}$ xác định khi mẫu số khác 0, tức $1-\cos x\ne 0\iff \cos x\ne 1\iff x\ne k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin \left(x+\frac{3\pi }{4}\right)\le 1$ nên $-3\le 3\sin \left(x+\frac{3\pi }{4}\right)\le 3$, suy ra $-4\le y\le 2$. Vậy max $y=2$, min $y=-4$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cos x$ thỏa mãn $\cos (-x)=\cos x$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên là hàm số chẵn. Các hàm $y=\sin x$ là hàm lẻ vì $\sin (-x)=-\sin x$; $y=\tan x$ và $y=\cot x$ cũng là hàm lẻ vì $\tan (-x)=-\tan x$, $\cot (-x)=-\cot x$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có giá trị lớn nhất bằng 1 tại $x=0$, cắt trục hoành tại $x=\pm \frac{\pi }{2}$ và đạt giá trị nhỏ nhất $-1$ tại $x=\pm \pi$. Đây là đặc điểm của đồ thị hàm số $y=\cos x$ (hàm cosin có $\cos 0=1$, $\cos \frac{\pi }{2}=0$, $\cos \pi =-1$). Các hàm $y=\tan x$, $y=\cot x$ có tiệm cận đứng nên loại; $y=\sin x$ có $\sin 0=0$ (đi qua gốc tọa độ) nên cũng loại. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Với mọi $x\in \mathbb{R}$, ta có $-1\le \cos x\le 1$, và hàm số đạt mọi giá trị trong đoạn $[-1;1]$ (ví dụ $\cos 0=1$, $\cos \pi =-1$). Vậy tập giá trị của hàm số $y=\cos x$ là $[-1;1]$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cos x$ thỏa mãn $\cos (x+2\pi )=\cos x$ với mọi $x$, và $2\pi$ là số dương nhỏ nhất có tính chất này. Vậy chu kỳ tuần hoàn của hàm số là $T=2\pi$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số y = sin 4x. a) Sai: hàm số xác định với mọi x thực nên D = ℝ, không phải [-1;1] ([-1;1] là tập giá trị). b) Sai: sin 4x tuần hoàn với chu kỳ T = 2π/4 = π/2, không phải 2π. c) Sai: tập giá trị của hàm sin là T = [-1;1], không phải ℝ. d) Đúng: sin 4x là hàm số lẻ, sin(4(-x)) = -sin 4x, nên đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm y = sin 4x xác định với mọi x ∈ ℝ nên tập xác định là D = ℝ, không phải [-1;1].
b) (AI giải đề cho tôi)
Chu kỳ của y = sin 4x là T = 2π/4 = π/2, không phải 2π.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì -1 ≤ sin 4x ≤ 1 nên tập giá trị là T = [-1;1], không phải ℝ.
d) (AI giải đề cho tôi)
sin(4(-x)) = -sin 4x nên hàm số lẻ, đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $d(t)=3\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]+12$, $t\in \mathbb{Z}$, $0<t\le 365$.

a) Vì $-1\le \sin \le 1$ nên $9\le d(t)\le 15$. Giá trị $15$ đạt được khi $\frac{\pi }{182}(t-80)=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=171$ (thuộc miền xác định); giá trị $9$ đạt được khi $t-80=273\Rightarrow t=353$ (thuộc miền xác định). Vậy tập giá trị là $[9;15]$. Đúng.

b) $d(t)=12\iff \sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]=0\iff t-80=182k\iff t=80$ hoặc $t=262$ (với $k=0,1$ trong miền xác định). Như vậy có 2 ngày (ngày 80 và ngày 262), không phải một ngày duy nhất. Sai.

c) $d(353)=3\sin \left(\frac{\pi }{182}\cdot 273\right)+12=3\sin \frac{3\pi }{2}+12=3(-1)+12=9$. Đúng.

d) $d(107)=3\sin \left(\frac{27\pi }{182}\right)+12\approx 3(0,449)+12\approx 13,35\ne 15$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập giá trị là [9;15], cả hai đầu mút đều đạt được tại t=171 và t=353.
b) (AI giải đề cho tôi)
d(t)=12 tại t=80 và t=262, tức có 2 ngày chứ không phải một ngày duy nhất.
c) (AI giải đề cho tôi)
d(353)=3sin(3π/2)+12=9.
d) (AI giải đề cho tôi)
d(107)=3sin(27π/182)+12≈13,35≠15.