Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Mực nước cao nhất khi $h$ lớn nhất, tức khi $\cos \left(\frac{\pi t}{8}+\frac{\pi }{4}\right)=1$. Khi đó $\frac{\pi t}{8}+\frac{\pi }{4}=2k\pi \Rightarrow t=-2+16k$. Với $t\in [0;24)$, chọn $k=1$ nên $t=14$. Kiểm tra: $\frac{\pi \cdot 14}{8}+\frac{\pi }{4}=\frac{7\pi }{4}+\frac{\pi }{4}=2\pi$, cos bằng 1, $h=15$ m (cao nhất). Vậy mực nước cao nhất khi $t=14$ giờ.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\cos 2x\le 1$ nên $f(x)\le 2+3=5$, max bằng 5 khi $\cos 2x=1$. Đúng.
b) $f$ đạt min $=-1$ khi $\cos 2x=-1\iff 2x=\pi +2k\pi \iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi$. Đúng.
c) $g(-x)=\sin (-x)+\cos (-x)=-\sin x+\cos x\ne g(x)$, ví dụ $g(\pi /2)=1\ne g(-\pi /2)=-1$. Vậy $g$ không chẵn. Sai.
d) $g(x+2\pi )=g(x)$ và không có $T<2\pi$ thỏa mãn với mọi $x$ (ví dụ $g(0)=1$, $g(\pi /2)=1$ nhưng $g(\pi /4)=\sqrt{2}$). Chu kỳ là $2\pi$, không phải $\pi /2$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cos 2x\le 1$ nên $f(x)\le 5$, đạt được khi $\cos 2x=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos 2x=-1\iff 2x=\pi +2k\pi \iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$g(-x)=\cos x-\sin x\ne g(x)$, ví dụ $g(\pi /2)=1\ne g(-\pi /2)=-1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chu kỳ của $g(x)=\sin x+\cos x$ là $T=2\pi$, không phải $\frac{\pi }{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\cos 2x$ thỏa mãn $f(-x)=\cos (-2x)=\cos 2x=f(x)$ với mọi $x$, nên là hàm chẵn. Các hàm $\sin 3x$, $\tan 4x$, $\cot x$ đều là hàm lẻ.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1-\sin x}{1+\cos x}$ xác định khi $1+\cos x\ne 0$, tức $\cos x\ne -1$. Điều này xảy ra khi $x=\pi +k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$. Lưu ý $1-\sin x$ luôn khác 0 vì $\sin x\le 1$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cot x$ xác định khi $\sin x\ne 0$, tức $x\ne k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=2\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$ có $-1\le \cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)\le 1$, nên $M=2$ và $m=-2$. Suy ra $P=M-m=2-(-2)=4$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: tại $x=0$ đồ thị đạt giá trị lớn nhất $y=1$; tại $x=-\pi$ và $x=\pi$ đồ thị đạt giá trị nhỏ nhất $y=-1$; tại $x=2\pi$ đồ thị đạt giá trị lớn nhất $y=1$. Kiểm tra $y=\cos x$: $\cos 0=1$, $\cos (-\pi )=-1$, $\cos \pi =-1$, $\cos 2\pi =1$ — khớp hoàn toàn với hình vẽ. Các hàm còn lại: $y=\sin x$ có $\sin 0=0$ (không khớp); $y=1-\sin x$ và $y=1+\sin x$ có giá trị tại $x=0$ bằng 1 nhưng dao động trong $[0;2]$ (min $0$, max $2$), không khớp hình vẽ (min là $-1$). Vậy đồ thị là $y=\cos x$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\tan x$ có tập giá trị $\mathbb{R}$ (đúng); $y=\cos x$ và $y=\sin x$ có tập giá trị $[-1;1]$ (đúng); $y=\cot x$ có tập giá trị là $\mathbb{R}$, không phải $[0;\pi ]$, nên khẳng định D là SAI.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sin 2x$ có dạng $y=\sin (\omega x)$ với $\omega =2>0$, nên chu kì tuần hoàn là $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{2}=\pi$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=2{\sin }^{2}x-5=1-\cos 2x-5=-\cos 2x-4$.
a) Vì ${\sin }^{2}x$ có chu kì $\pi$ nên $f(x+\pi )=f(x)$ với mọi $x$; hàm số tuần hoàn với chu kì $\pi$, không phải $2\pi$ (mặc dù $2\pi$ cũng là một chu kì, nhưng chu kì cơ bản là $\pi$, nên khẳng định 'tuần hoàn với chu kì $2\pi$' theo nghĩa chu kì là sai). Do đó a) sai.
b) $f(-x)=2{\sin }^2(-x)-5=2{\sin }^{2}x-5=f(x)$, nên hàm số chẵn. b) đúng.
c) ${\sin }^{2}x\le 1$ nên $f(x)\le 2-5=-3$, dấu bằng khi $\sin x=\pm 1$, tức $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$. Giá trị lớn nhất $-3$ đạt được đúng tại các $x$ đó. c) đúng.
d) ${\sin }^{2}x\ge 0$ nên $f(x)\ge -5$; giá trị nhỏ nhất bằng $-5$, không phải $-3$. d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\sin }^{2}x$ có chu kì $\pi$ nên $f(x)$ tuần hoàn với chu kì $\pi$, không phải $2\pi$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(-x)=2{\sin }^2(-x)-5=2{\sin }^{2}x-5=f(x)$ nên hàm chẵn.
c) (AI giải đề cho tôi)
Max $f=-3$ khi ${\sin }^{2}x=1$, tức $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Min $f=2\cdot 0-5=-5$, không phải $-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $p(t)=120+15\cos (150\pi t)$: Chu kì $T=\frac{2\pi }{150\pi }=\frac{1}{75}$ phút, nên khẳng định a (chu kì $\frac{\pi }{75}$) sai. $p(0)=120+15\cos 0=135$ mmHg, nên khẳng định b (120 mmHg) sai. Huyết áp cao nhất $=120+15=135$ mmHg, khẳng định c đúng. Huyết áp thấp nhất $=120-15=105$ mmHg, khẳng định d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chu kì $T=\frac{2\pi }{150\pi }=\frac{1}{75}$ phút, không phải $\frac{\pi }{75}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$p(0)=120+15\cos 0=135$ mmHg, không phải 120 mmHg.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị lớn nhất của $p(t)$ là $120+15=135$ mmHg.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị nhỏ nhất của $p(t)$ là $120-15=105$ mmHg.

(AI giải đề cho tôi)
Mực nước cao nhất $h_{max}=m+a=12$ (khi $\cos \frac{\pi t}{12}=1$, tức $t=0$ hoặc $t=24$, phù hợp đồ thị). Mực nước thấp nhất $h_{min}=m-a=8$ (khi $t=12$). Suy ra $m=10$, $a=2$. Vậy $T=m+a=12$.

(AI giải đề cho tôi)
Độ sâu mực nước: $h=12+4\cos \left(\frac{\pi }{12}t-\frac{3\pi }{4}\right)$, với $0\le t\le 24$.

Vì $-1\le \cos \left(\frac{\pi }{12}t-\frac{3\pi }{4}\right)\le 1$ nên $h$ đạt giá trị lớn nhất bằng $12+4=16$ (m) khi:
$$\cos \left(\frac{\pi }{12}t-\frac{3\pi }{4}\right)=1\iff \frac{\pi }{12}t-\frac{3\pi }{4}=2k\pi \iff t=9+24k,k\in \mathbb{Z}.$$

Với $0\le t\le 24$ thì $t=9$.

Vậy mực nước cao nhất trong ngày là $16$ m, xảy ra lúc $9$ giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra tính chẵn lẻ: $\tan (-x)=-\tan x$ và $\cot (-x)=-\cot x$ nên $y=\tan x$, $y=\cot x$ đều là hàm số lẻ (A, B đúng). $\cos (-x)=\cos x$ nên $y=\cos x$ là hàm số chẵn (D đúng). Còn $\sin (-x)=-\sin x$ nên $y=\sin x$ là hàm số lẻ, không phải hàm số chẵn. Vậy mệnh đề SAI là C.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 3: Tìm tập xác định.

a) $y=\frac{\cos x}{\sin x-1}$: hàm số xác định khi $\sin x-1\ne 0\iff \sin x\ne 1\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k2\pi$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k2\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$.

b) $y=\tan \left(x-\frac{\pi }{3}\right)+2$: cần $x-\frac{\pi }{3}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff x\ne \frac{5\pi }{6}+k\pi$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{5\pi }{6}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$.

c) $y=\frac{1}{\sin x-\cos x}$: cần $\sin x\ne \cos x\iff \sin x-\cos x\ne 0\iff \sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{4}+k\pi$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{4}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$.

d) $y=\cos 2x+\frac{1}{\tan x}+5$: cần $\tan x$ xác định, tức $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$.

e) $y=\sqrt{2-\sin 2x}$: cần $2-\sin 2x\ge 0$. Vì $\sin 2x\le 1$ với mọi $x$ nên $2-\sin 2x\ge 1>0$ luôn đúng. Vậy $D=\mathbb{R}$.

f) $y=\frac{1+\cot x}{\cos x}$: cần $\cot x$ xác định tức $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi$, và $\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$. Kết hợp lại: $x\ne \frac{k\pi }{2}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{k\pi }{2}|k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 4: a) Vì $-1\le \sin x\le 1$ nên $-3\le 3\sin x\le 3$, suy ra $-16\le 3\sin x-13\le -10$. Vậy $\max y=-10$ khi $\sin x=1$ ($x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$), $\min y=-16$ khi $\sin x=-1$ ($x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$).

b) $y={\sin }^{2}x+\cos x-2026=1-{\cos }^{2}x+\cos x-2026=-{\cos }^{2}x+\cos x-2025$. Đặt $t=\cos x\in [-1;1]$, khi đó $y=-t^2+t-2025=-(t-\frac{1}{2}{)}^2-\frac{8101}{4}$. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $t=\frac{1}{2}\in [-1;1]$: $\max y=-\frac{8101}{4}=-2025,25$ khi $\cos x=\frac{1}{2}$ ($x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$). Trên đoạn $[-1;1]$, giá trị nhỏ nhất đạt tại đầu mút: tại $t=1$ thì $y=-2025$; tại $t=-1$ thì $y=-1-1-2025=-2027$. Vậy $\min y=-2027$ khi $\cos x=-1$ ($x=\pi +k2\pi$).

c) $y=5-2{\sin }^{2}2x=5-2\cdot \frac{1-\cos 4x}{2}=4+\cos 4x$. Vì $-1\le \cos 4x\le 1$ nên $3\le y\le 5$. Vậy $\max y=5$ khi $\cos 4x=1$ ($4x=k2\pi$, $x=\frac{k\pi }{2}$), $\min y=3$ khi $\cos 4x=-1$ ($4x=\pi +k2\pi$, $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$).

d) Áp dụng công thức hiệu hai sin: $\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)-\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=2\cos x\cdot \sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)=2\cos x\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\cos x$. Vì $-1\le \cos x\le 1$ nên $-1\le y\le 1$. Vậy $\max y=1$ khi $\cos x=-1$ ($x=\pi +k2\pi$), $\min y=-1$ khi $\cos x=1$ ($x=k2\pi$).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\tan \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ xác định khi $2x+\frac{\pi }{3}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, tức $2x\ne \frac{\pi }{6}+k\pi$, suy ra $x\ne \frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cot \left(3x+\frac{\pi }{2}\right)$ xác định khi $\sin \left(3x+\frac{\pi }{2}\right)\ne 0$, tức $3x+\frac{\pi }{2}\ne k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$. Suy ra $3x\ne -\frac{\pi }{2}+k\pi$, tức $x\ne -\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}\right\}$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{\sin x-1}{\tan x}$ xác định khi $\tan x$ xác định và $\tan x\ne 0$. Điều kiện $\tan x$ xác định: $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$. Điều kiện $\tan x\ne 0$: $x\ne k\pi$. Kết hợp lại: $x\ne \frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sin x$ thỏa mãn $\sin (-x)=-\sin x$ nên là hàm số lẻ, do đó khẳng định D (hàm số chẵn) là khẳng định SAI. Các khẳng định còn lại đều đúng: A đúng vì chu kì $T=2\pi$; B đúng vì $y^{\prime }=\cos x>0$ trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ nên hàm số đồng biến trên khoảng đó; C đúng vì $-1\le \sin x\le 1$ với mọi $x$, tập giá trị là $[-1;1]$.