Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Mực nước đạt độ cao lớn nhất khi $h(t)$ lớn nhất, tức khi $\cos \left(\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}\right)=1$ (khi đó $h(t{)}_{\max }=3+10=13$ cm).

Điều kiện: $\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}=2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\Rightarrow \frac{\pi t}{12}=2k\pi -\frac{\pi }{3}\Rightarrow t=24k-4$.

Vì $t\in [0;24)$ (một ngày), với $k=1$ ta được $t=20$.

Vậy mực nước đạt độ cao lớn nhất (13 cm) tại thời điểm $t=20$ giờ (20 giờ đêm, tức 8 giờ tối).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ xác định khi $\sin x\ne 0$, tức $x\ne k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \left\{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ và tại đó hàm số đồng biến, nên loại A và D vì $y(0)=\pm 1\ne 0$. Xét hai hàm còn lại: $y=\sin \left(-\frac{x}{2}\right)=-\sin \frac{x}{2}$ có đạo hàm $y^{\prime }(0)=-\frac{1}{2}<0$ (nghịch biến tại $O$), không khớp đồ thị. Với $y=\sin \frac{x}{2}$: $y(0)=0$, $y^{\prime }(0)=\frac{1}{2}>0$ (đồng biến tại $O$), chu kỳ $T=\frac{2\pi }{1/2}=4\pi$ khớp với đồ thị (một sóng đầy đủ trải từ $-2\pi$ đến $2\pi$). Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{10\sin x+6}{\cos x}$ xác định khi $\cos x\ne 0$, tức $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{\sin x}$ xác định khi $\sin x\ne 0$, tức là $x\ne k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \left\{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$, tương ứng với phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cos x$ có $y^{\prime }=-\sin x$. Hàm số đồng biến khi $y^{\prime }>0$, tức $-\sin x>0\iff \sin x<0\iff x\in (-\pi +2k\pi ;2k\pi ),k\in \mathbb{Z}$. Với $k=0$, hàm số đồng biến trên khoảng $(-\pi ;0)$. Do đó đáp án đúng là C. Kiểm tra: trên $(0;\pi )$ hàm nghịch biến (A sai); trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ hàm tăng rồi giảm (B sai); khoảng $\left(-\pi ;\frac{3\pi }{4}\right)$ chứa cả đoạn nghịch biến $(0;\pi )$ (D sai).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sin x$ có $y^{\prime }=\cos x$. Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+2k\pi ;\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)$, $k\in \mathbb{Z}$, và nghịch biến trên các khoảng $\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi ;\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right)$, $k\in \mathbb{Z}$. Xét từng phương án: A) $\left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)$ là khoảng nghịch biến, nên sai. B) $\left(-\frac{3\pi }{2};-\pi \right)$ nằm trong khoảng nghịch biến $\left(-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2}\right)$, nên sai. C) $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ nằm trong khoảng đồng biến $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$, nên đúng. D) $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ là khoảng đồng biến, không phải nghịch biến, nên sai. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 8: C).

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 1102, câu 9: SDDS, tức a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai. Kiểm chứng toán học khớp: a) tập xác định của tan là ℝ\{π/2+kπ} nên Sai; b) tập giá trị [9;13] nên Đúng; c) 2cos2x·cos(π/3)=cos2x nên Đúng; d) sin α<0 trên (3π/2;2π) nên Sai.
a) Tập xác định của $y=2\tan x$ là $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$, nên phát biểu Sai.
b) Vì $-1\le \sin \left(\frac{5\pi }{2}-2x\right)\le 1$ nên $9\le -2\sin \left(\frac{5\pi }{2}-2x\right)+11\le 13$, tập giá trị là $[9;13]$. Đúng.
c) Áp dụng công thức tổng hai cosin: $\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)+\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=2\cos 2x\cos \frac{\pi }{3}=\cos 2x$. Đúng.
d) Trên khoảng $\left(\frac{3\pi }{2};2\pi \right)$ (góc phần tư thứ IV) thì $\sin \alpha <0$, nên phát biểu Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sin x$ có $y^{\prime }=\cos x$. Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+2k\pi ;\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)$ và nghịch biến trên các khoảng $\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi ;\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right)$, $k\in \mathbb{Z}$. Xét từng mệnh đề: A sai vì trên $\left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)$ hàm số nghịch biến. B sai vì $\left(-\frac{3\pi }{2};-\pi \right)\subset \left(-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2}\right)$ là khoảng nghịch biến. C sai vì trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ hàm số đồng biến. D đúng vì $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)\subset \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ là khoảng đồng biến. Kết quả khớp với đáp án nguồn D (mã đề 1101, câu 7).

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 1101, câu 9: SDDS — a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
a) Tập xác định của $y=2\tan x$ là $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$, không phải tập đã cho → Sai.
b) Vì $\sin \left(\frac{5\pi }{2}-2x\right)=\cos 2x$ nên $y=-2\cos 2x+11\in [9;13]$ → Đúng.
c) VT $=2\cos 2x\cos \frac{\pi }{3}=\cos 2x$ → Đúng.
d) Trên $\left(\frac{3\pi }{2};2\pi \right)$ (góc phần tư thứ IV) thì $\sin \alpha <0$ → Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\tan 2x$ xác định khi $\cos 2x\ne 0$, tức $2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, suy ra $x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}|k\in \mathbb{Z}\right\}$, tương ứng phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình chữ nhật với $C,D$ thuộc trục $Ox$ nên $AB\parallel Ox$, do đó hoành độ $A=(a,\sin a)$, $B=(b,\sin b)$ với $\sin a=\sin b$ và $a\ne b$. Trên đoạn $[0;\pi ]$, điều này cho $a+b=\pi$. Hình chữ nhật cho $CD=AB=b-a=\frac{2\pi }{3}$. Suy ra $b=\frac{\pi +\frac{2\pi }{3}}{2}=\frac{5\pi }{6}$, $a=\frac{\pi }{6}$. Độ dài $BC$ là khoảng cách từ $B$ xuống trục $Ox$: $BC=\sin b=\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2}=0,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cos x$ là hàm số tuần hoàn với chu kì cơ bản (chu kì tuần hoàn) $T=2\pi$, vì $\cos (x+2\pi )=\cos x$ với mọi $x$ và $2\pi$ là số dương nhỏ nhất có tính chất này. Do đó đáp án là $2\pi$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{-2\sin x+9}{\cos x-1}$ xác định khi mẫu số khác 0: $\cos x-1\ne 0\iff \cos x\ne 1\iff x\ne k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=2\cos \left(x+\frac{\pi }{15}\right)$ có $-1\le \cos \left(x+\frac{\pi }{15}\right)\le 1$ với mọi $x$, nên $M=2\cdot 1=2$ và $m=2\cdot (-1)=-2$. Vậy $M-m=2-(-2)=4$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $h(t)=6\cos \left(\frac{\pi }{4}t\right)$ có dạng $A\cos (\omega t)$ với $\omega =\frac{\pi }{4}$. Chu kì $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{\pi /4}=8$ (giây). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ xác định khi $\cos x\ne 0$, tức $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos (-x)=\cos x$ nên $y=\cos x$ là hàm chẵn, không phải hàm lẻ → khẳng định A sai. Còn $\sin (-x)=-\sin x$, $\tan (-x)=-\tan x$, $\cot (-x)=-\cot x$ nên các hàm $y=\sin x$, $y=\tan x$, $y=\cot x$ đều là hàm lẻ (B, C, D đúng). Vậy khẳng định sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì với mọi $x$ thực ta có $-1\le \cos 3x\le 1$, và mọi giá trị $t\in [-1;1]$ đều đạt được (ví dụ $3x=0$ cho $y=1$, $3x=\pi$ cho $y=-1$), nên tập giá trị của hàm số $y=\cos 3x$ là $[-1;1]$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1+\cos x}{\sin x}$ xác định khi $\sin x\ne 0$, tức $x\ne k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$, tương ứng phương án D (trong đề in $k\in R$ nhưng ý là $k$ nguyên).