Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số lẻ thỏa $f(-x)=-f(x)$. A: $y=-2\cos x$ là hàm chẵn vì $\cos (-x)=\cos x$. B: $y=-\sin x$, ta có $f(-x)=-\sin (-x)=\sin x=-(-\sin x)=-f(x)$, nên là hàm lẻ. C: $y=\cos 2x$ là hàm chẵn. D: $y=-x^2+2$ là hàm chẵn. Vậy hàm số lẻ là $y=-\sin x$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \cos 2x\le 1$ nên $-3\cos 2x\ge -3$, do đó $y=-3\cos 2x+2\le -3+2=-1$. Dấu bằng xảy ra khi $\cos 2x=-1$, tức $2x=\pi +k\pi$. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $-1$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \cos \left(\frac{\pi }{4}t\right)\le 1$ với mọi $t$, nên $-68\le h(t)\le 68$. Giá trị lớn nhất đạt được khi $\cos \left(\frac{\pi }{4}t\right)=1$, tức là $\frac{\pi }{4}t=2k\pi \iff t=8k$ ($k\in \mathbb{Z}$). Vậy chiều cao lớn nhất mà con sóng đạt được là $68$ centimét (so với mực nước biển trung bình).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2025}{\sin x}$ xác định khi $\sin x\ne 0$, tức $x\ne k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số chẵn thỏa $f(-x)=f(x)$. Xét từng phương án:
- A: $f(x)=-2\cos x$, $f(-x)=-2\cos (-x)=-2\cos x=f(x)$, là hàm chẵn.
- B: $f(x)=-2\sin x$, $f(-x)=2\sin x=-f(x)$, là hàm lẻ.
- C: $\tan x$ lẻ, $\cos x$ chẵn nên $\tan x-\cos x$ không chẵn không lẻ.
- D: $-2\cot x$ lẻ cộng hằng số 2 nên không chẵn không lẻ.
Vậy hàm số chẵn là $y=-2\cos x$.

(AI giải đề cho tôi)
Với mọi $x\in \mathbb{R}$, ta có $-1\le \cos x\le 1$, và mọi giá trị trong $[-1;1]$ đều đạt được (ví dụ $\cos 0=1$, $\cos \pi =-1$). Vậy tập giá trị của hàm số $y=\cos x$ là $[-1;1]$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \cos 2x\le 1$ nên $-3\cos 2x\le 3$, do đó $y=-3\cos 2x+2\le 5$. Giá trị lớn nhất bằng $5$, đạt được khi $\cos 2x=-1$, tức $2x=\pi +k2\pi \iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=-5\tan x$ xác định khi $\cos x\ne 0$, tức $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$. Hệ số $-5$ không ảnh hưởng đến tập xác định.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tập giá trị của từng hàm số:
- $y=\sin 4x$: tập giá trị là $[-1;1]$.
- $y=\cos 2x$: tập giá trị là $[-1;1]$.
- $y=\cot x$: tuy nhận mọi giá trị thực trên tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$, nhưng hàm số không xác định trên toàn $\mathbb{R}$ (không xác định tại $x=k\pi$), nên không thỏa mãn yêu cầu của đề theo cách hiểu thông thường trong chương trình phổ thông.
- $y=x^3$: hàm số liên tục, xác định trên toàn $\mathbb{R}$ và là song ánh từ $\mathbb{R}$ lên $\mathbb{R}$, nên tập giá trị là $\mathbb{R}$.
Vậy chọn đáp án D.
(Lưu ý: về mặt toán học thuần túy, $y=\cot x$ cũng có tập giá trị là $\mathbb{R}$ trên tập xác định của nó; đáp án D phù hợp với ý đồ của đề gốc — hàm có tập giá trị là $\mathbb{R}$ và xác định trên toàn $\mathbb{R}$.)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số lẻ thỏa $f(-x)=-f(x)$. Xét từng hàm: $y=\cos 4x$ là hàm chẵn vì $\cos (-4x)=\cos 4x$. $y=\tan x$ là hàm lẻ vì $\tan (-x)=-\tan x$ (tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{\frac{\pi }{2}+k\pi \}$ đối xứng qua gốc tọa độ). $y=\cos 2x$ là hàm chẵn. $y=x^4$ là hàm chẵn vì $(-x{)}^4=x^4$. Vậy hàm lẻ là $y=\tan x$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\tan \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ xác định khi $2x-\frac{\pi }{3}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Suy ra $2x\ne \frac{5\pi }{6}+k\pi$, tức $x\ne \frac{5\pi }{12}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{x\ne \frac{5\pi }{12}+\frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z}\right\}$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số chẵn thỏa mãn $f(-x)=f(x)$ với mọi $x$ trong tập xác định. Xét từng hàm: $y=\sin x$ có $\sin (-x)=-\sin x$, là hàm lẻ (loại A). $y=\cos x$ có $\cos (-x)=\cos x$, là hàm chẵn (chọn B). $y=\tan x$ có $\tan (-x)=-\tan x$, là hàm lẻ (loại C). $y=\cot x$ có $\cot (-x)=-\cot x$, là hàm lẻ (loại D). Vậy hàm số chẵn là $y=\cos x$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số với $f(-x)$:
- A: $f(x)=-\sin x\Rightarrow f(-x)=-\sin (-x)=\sin x=-f(x)$, hàm lẻ.
- B: $f(x)=\cos x-\sin x\Rightarrow f(-x)=\cos x+\sin x\ne \pm f(x)$, không chẵn không lẻ.
- C: $f(x)=\cos x+{\sin }^{2}x\Rightarrow f(-x)=\cos (-x)+{\sin }^2(-x)=\cos x+{\sin }^{2}x=f(x)$, hàm chẵn.
- D: $f(x)=\cos x\sin x\Rightarrow f(-x)=-\cos x\sin x=-f(x)$, hàm lẻ.
Vậy hàm số chẵn là $y=\cos x+{\sin }^{2}x$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số:
- A: $y=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$ là hàm chẵn.
- B: $y={\sin }^{2}x$ là hàm chẵn vì ${\sin }^2(-x)={\sin }^{2}x$.
- C: $y=\frac{\cot x}{\cos x}=\frac{\cos x}{\sin x\cdot \cos x}=\frac{1}{\sin x}$, tập xác định đối xứng qua gốc tọa độ và $f(-x)=\frac{1}{\sin (-x)}=-\frac{1}{\sin x}=-f(x)$, nên là hàm lẻ.
- D: $y=\frac{\tan x}{\sin x}=\frac{1}{\cos x}$ là hàm chẵn.
Vậy hàm số lẻ là phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin 4x\le 1$ nên $-1-3\le \sin 4x-3\le 1-3$, tức $-4\le y\le -2$. Vậy tập giá trị là $[-4;-2]$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1+\sin x}{\cos x}$ xác định khi và chỉ khi mẫu số khác 0, tức là $\cos x\ne 0$. Ta có $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Do đó tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$. Các phương án còn lại loại vì: A loại khi $\cos x\ne 0$ chứ không phải $\sin x\ne 0$; C và D chỉ loại một phần các điểm làm mẫu bằng 0. Đáp án khớp với phương án B trong đề (trang 5).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{5\sin x}{\cos x-3}$ xác định khi $\cos x-3\ne 0$. Vì $\cos x\le 1<3$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $\cos x-3\le -2\ne 0$ luôn đúng. Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sin 2x$ có $y^{\prime }=2\cos 2x$. Hàm đồng biến khi $\cos 2x>0\iff -\frac{\pi }{2}+2k\pi <2x<\frac{\pi }{2}+2k\pi \iff -\frac{\pi }{4}+k\pi <x<\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $k=0$ ta được khoảng đồng biến $\left(-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right)$, trùng với đồ thị (hàm đi lên qua gốc $O$, đạt cực đại tại $x=\frac{\pi }{4}$). Các khoảng ở A, B nằm trong khoảng nghịch biến, còn D $(0;1)$ không phải khoảng đồng biến vì $1>\frac{\pi }{4}$. Đáp án khớp với mã đề 1102: Câu 11 = C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\tan (-x)$ chỉ xác định khi $-x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, tức $x\ne -\frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}\ne \mathbb{R}$, ý a) sai. Vì $\tan$ là hàm lẻ nên $f(x)=\tan (-x)=-\tan x$ với mọi $x\in D$, ý b) sai. $f(x)=1\iff \tan (-x)=1\iff -x=\frac{\pi }{4}+k\pi \iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$, ý c) đúng. Trên đoạn $[-\pi ;2\pi ]$ các nghiệm là $x=-\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{7\pi }{4}$, tổng bằng $-\frac{\pi }{4}+\frac{3\pi }{4}+\frac{7\pi }{4}=\frac{9\pi }{4}$, ý d) đúng. Kết quả S S Đ Đ khớp với đáp án nguồn (trang 9, mã đề 1102, câu 13: SSĐĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $-x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff x\ne -\frac{\pi }{2}+k\pi$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}\ne \mathbb{R}$; ý a) sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $f(x)=\tan (-x)=-\tan x$ vì $\tan$ là hàm lẻ, không phải $\tan x$; ý b) sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\tan (-x)=1\iff -x=\frac{\pi }{4}+k\pi \iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$; ý c) đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Các nghiệm thuộc $[-\pi ;2\pi ]$ là $-\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{7\pi }{4}$, tổng $=\frac{9\pi }{4}$; ý d) đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cos 2x$ là hàm số lượng giác cosin của $2x$. Với mọi $x\in \mathbb{R}$, biểu thức $\cos 2x$ đều có nghĩa (cosin xác định trên toàn bộ tập số thực), không có điều kiện ràng buộc nào về mẫu thức hay căn thức. Do đó tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}$. Lưu ý: $[-1;1]$ và $[0;1]$ là tập giá trị (miền giá trị) của hàm số, không phải tập xác định. Kết quả này trùng khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, Câu 3: D).