Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào $f(x)=\sin x+1$: với $x=0$ thì $f(0)=\sin 0+1=1$, nên đồ thị đi qua $(0;1)$. Kiểm tra các phương án khác: $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=2\ne 0$; $f(0)=1\ne 2$; $f(\pi )=1\ne 0$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\sin 2x$ nghịch biến khi $\frac{\pi }{2}+2k\pi \le 2x\le \frac{3\pi }{2}+2k\pi$, tức $x\in \left(\frac{\pi }{4}+k\pi ;\frac{3\pi }{4}+k\pi \right)$. Với $k=-1$ ta được khoảng $\left(-\frac{3\pi }{4};-\frac{\pi }{4}\right)$, trùng với phương án B. Kiểm tra: trên khoảng này $2x\in \left(-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2}\right)$, hàm sin nghịch biến trên đó, khớp với đồ thị (đi từ đỉnh cao xuống đáy). Đáp án nguồn (B, mã đề 1101) khớp với kết quả tự giải.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\cos (-x)=\cos x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên $D=\mathbb{R}$. a) Sai vì $D=\mathbb{R}$, không loại các điểm $\frac{\pi }{2}+k\pi$. b) Sai vì $\cos (-x)=\cos x$, không phải $-\cos x$. c) Đúng: $\cos x=1\iff x=k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. d) Trên $[-\pi ;6\pi ]$ các nghiệm là $x=0,2\pi ,4\pi ,6\pi$, tổng $=12\pi$, đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn (SSĐĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (-x)$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$, không cần loại $\frac{\pi }{2}+k\pi$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì hàm cos là hàm chẵn: $\cos (-x)=\cos x$, nên $f(x)=\cos x\ne -\cos x$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=1\iff \cos x=1\iff x=k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-\pi ;6\pi ]$, các nghiệm của $\cos x=1$ là $x=0,2\pi ,4\pi ,6\pi$; tổng $=12\pi$.

(AI giải đề cho tôi)
Mực nước cao nhất khi $\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=1$: $h_{max}=m+a=12$. Mực nước thấp nhất khi $\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=-1$: $h_{min}=m-a=8$. Cộng hai phương trình: $2m=20\Rightarrow m=10$, suy ra $a=2$. Vậy $T=\frac{m}{a}=\frac{10}{2}=5$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 19 = 5).

(AI giải đề cho tôi)
Thay $x=0$: $f(0)=\cos 0+1=2$, nên đồ thị đi qua $(0;2)$. Kiểm tra các điểm khác: $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=1\ne 0$, $f\left(-\frac{\pi }{2}\right)=1\ne 0$, $f(0)=2\ne 1$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ vì hàm sin nhận mọi giá trị thực làm đối số. Do đó tập xác định là $\mathbb{R}$. Lưu ý $[-1;1]$ là tập giá trị (biên độ) của hàm số, không phải tập xác định. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $g(x)=\sin x$.
a) Hàm $\sin x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên tập xác định là $\mathbb{R}$ → đúng.
b) $g(-x)=\sin (-x)=-\sin x=-g(x)$, nên $g(x)$ là hàm lẻ, không phải hàm chẵn → sai.
c) Vì $-1\le \sin x\le 1$ nên giá trị lớn nhất của $g(x)$ là $1$, không phải $2$ → sai.
d) Giải $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Nghiệm dương nhỏ nhất là $x=\frac{\pi }{3}$, có dạng $\frac{a}{b}\pi$ với $\frac{a}{b}=\frac{1}{3}$ tối giản và $a^2+b^2=1^2+3^2=10$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm $\sin x$ xác định với mọi số thực, tập xác định là $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$g(-x)=\sin (-x)=-\sin x=-g(x)$ nên $g(x)$ là hàm lẻ, không phải hàm chẵn.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin x\le 1$ nên giá trị lớn nhất của $g(x)$ là $1$, không phải $2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi$. Nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{\pi }{3}$, với $\frac{a}{b}=\frac{1}{3}$ thì $a^2+b^2=1+9=10$, thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số chẵn thỏa mãn $f(-x)=f(x)$ với mọi $x$ trong tập xác định. Xét từng hàm: $y=\cos x$ có $\cos (-x)=\cos x$, nên là hàm chẵn. $y=\sin x$ có $\sin (-x)=-\sin x$ (hàm lẻ). $y=\tan x$ và $y=\cot x$ đều có $f(-x)=-f(x)$ (hàm lẻ). Vậy hàm số chẵn là $y=\cos x$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cot x$ xác định với $x\ne k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Với mọi giá trị thực $y_0$, phương trình $\cot x=y_0$ luôn có nghiệm (ví dụ $x=\arctan \frac{1}{y_0}$ khi $y_0\ne 0$, và $x=\frac{\pi }{2}$ khi $y_0=0$), nên tập giá trị của hàm số là $\mathbb{R}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tính chẵn lẻ: $y=\sin 2x$ là hàm lẻ vì $\sin (-2x)=-\sin 2x$. $y=\tan x$ là hàm lẻ vì $\tan (-x)=-\tan x$. $y=\cot 4x$ là hàm lẻ vì $\cot (-4x)=-\cot 4x$. Riêng $y=\cos 3x$ thỏa $\cos (-3x)=\cos 3x$, tức $f(-x)=f(x)$ với mọi $x$, nên là hàm số chẵn. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $t(n)=2\sin \left[\frac{\pi (n-80)}{182}\right]+11$ đạt giá trị lớn nhất khi sin bằng 1, tức $\frac{\pi (n-80)}{182}=\frac{\pi }{2}+k\cdot 2\pi$. Với $1\le n\le 365$, chọn $k=0$: $n-80=91\Rightarrow n=171$ (thỏa mãn điều kiện). Vậy ngày thứ 171 thành phố X có nhiều giờ có ánh sáng Mặt Trời nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{27\sin x+10}{\cos x+1}$ xác định khi mẫu số khác 0, tức $\cos x+1\ne 0\iff \cos x\ne -1\iff x\ne \pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{\pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$, tương ứng phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số chẵn thỏa mãn $f(-x)=f(x)$ với mọi $x$ trong tập xác định. Xét từng phương án:
- A: $y=\cos x$, ta có $\cos (-x)=\cos x$ với mọi $x$, nên hàm số chẵn.
- B: $y=\sin x$, ta có $\sin (-x)=-\sin x$, nên hàm số lẻ.
- C: $y=2025x$, ta có $2025(-x)=-2025x$, nên hàm số lẻ.
- D: $y=\tan x$, ta có $\tan (-x)=-\tan x$, nên hàm số lẻ.
Vậy hàm số chẵn là $y=\cos x$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị ở trang 6 là đường cong hình sin dạng $y=\cos x$: đạt giá trị lớn nhất bằng 1 tại $x=0$, cực tiểu bằng $-1$ tại $x=\pm \pi$, cắt trục hoành tại $x=\pm \frac{\pi }{2},\pm \frac{3\pi }{2}$, và lặp lại hình dạng cũ với cực đại tiếp theo tại $x=2\pi$. Khoảng cách giữa hai cực đại liên tiếp là $2\pi -0=2\pi$, vậy chu kì tuần hoàn $T=2\pi$. Khớp với đáp án nguồn (Câu 9, mã đề 102: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số chẵn thỏa mãn $f(-x)=f(x)$ với mọi $x$ trong tập xác định. Xét từng hàm: $y=\tan x$ là hàm lẻ vì $\tan (-x)=-\tan x$; $y=\cos x$ là hàm chẵn vì $\cos (-x)=\cos x$; $y=2025x$ là hàm lẻ vì $2025(-x)=-2025x$; $y=\sin x$ là hàm lẻ vì $\sin (-x)=-\sin x$. Vậy hàm số chẵn là $y=\cos x$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, Câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị ở hình là đường cong hình sin/cosin dạng $y=\cos x$: đạt giá trị lớn nhất bằng 1 tại $x=0$, cắt trục hoành tại $x=\pm \frac{\pi }{2},\pm \frac{3\pi }{2},\dots$, đạt giá trị nhỏ nhất bằng $-1$ tại $x=\pm \pi$, và lặp lại cực đại bằng 1 tại $x=2\pi$. Hàm số lặp lại giá trị và tính biến thiên sau khoảng $2\pi$ (ví dụ $f(0)=f(2\pi )=1$, $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=f\left(\frac{5\pi }{2}\right)=0$), nên chu kì tuần hoàn $T=2\pi$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 7, mã đề 101: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cos x$ nghịch biến trên các khoảng $(2k\pi ;(2k+1)\pi )$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $k=0$ ta được khoảng $(0;\pi )$. Kiểm tra các phương án khác: trên $(\pi ;2\pi )$ hàm số đồng biến; trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ hàm số đồng biến; trên $\left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)$ hàm số vừa tăng vừa giảm (giảm trên $(\pi /2;\pi )$, tăng trên $(\pi ;3\pi /2)$). Vậy đáp án đúng là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 112, câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin \left(\frac{\pi }{25}t+\frac{\pi }{3}\right)\le 1$ nên $h(t)\ge 30-20=10$. Độ cao tối thiểu của cabin là $10$ m, đạt khi $\frac{\pi }{25}t+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$, tức $t=\frac{125}{6}+50k$ (giây), luôn tồn tại giá trị $t\ge 0$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (10).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ xác định khi $\cos x\ne 0$, tức $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$. Điều này khớp với đáp án A và với bảng đáp án chính thức (Câu 2, Mã đề 112: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ xác định khi $\sin x\ne 0$, tức $x\ne k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$, trùng với đáp án A (khớp với bảng đáp án mã đề 111, Câu 12 = A).