Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

a) Dao động tổng hợp $x(t)=x_1(t)+x_2(t)=A.\cos (\omega t+\phi )$ được biểu diễn như sau:



$$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{O{A}_1}+\overrightarrow{O{A}_2}\Rightarrow O{A}_{1}A{A}_2\text{ laˋ hıˋnh bıˋnh haˋnh}\Rightarrow \{\begin{array}{l}A{A}_2=O{A}_1=3\\ \widehat{A_{2}OA}={\phi }_2-{\phi }_1=-\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{2}\end{array}$$

Lại có: $O{A}_1=O{A}_2=3\Rightarrow O{A}_{1}A{A}_2$ là hình vuông cạnh bằng 3.

Suy ra biên độ của dao động tổng hợp $OA=O{A}_1.\sqrt{2}=3\sqrt{2}$, pha ban đầu $\widehat{xOA}=45^o-\widehat{xO{A}_2}=45^o-30^o=15^o=\frac{\pi }{12}$.

b) Điều kiện xác định: $y>-3;x>-2$

Ta có: $x^2+4x-y+3={\log }_2\frac{\sqrt{2y+3}}{x+2}$

$$\iff 2x^2+8x-2y+6=2{\log }_2\frac{\sqrt{2y+3}}{x+2}$$

$$\iff 2x^2+8x-2y+6={\log }_2\frac{2y+3}{x^2+4x+4}$$

$$\iff 2x^2+8x-2y+6={\log }_2\left(\frac{2y+3}{2x^2+8x+8}.2\right)$$

$$\iff 2x^2+8x+8+{\log }_2\left(2x^2+8x+8\right)=2y+3+{\log }_2\left(2y+3\right)$$

Xét hàm số $f(t)=t+{\log }_{2}t,t>0$ có $f^{\prime }(t)=1+\frac{1}{\ln 2.t}>0,\forall t>0\Rightarrow f(t)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$

Lại có: $f\left(2x^2+8x+8\right)=f(2y+3)\Rightarrow 2x^2+8x+8=2y+3\iff 2x^2+8x+5=2y(dpcm)$

Khi đó: $P=e^{2x-1}+4x^2+4x-2y-3=e^{2x-1}+4x^2+4x-\left(2x^2+8x+8\right)=e^{2x-1}+2x^2-4x-8=f(x)$

Có $f^{\prime }(x)=2.e^{2x-1}+4x-4\Rightarrow f^{\prime \prime }(x)=4.e^{2x-1}+4>0,\forall x$

Do đó $f^{\prime }(x)$ đồng biến trên tập xác định của nó.

Mặt khác $f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=0$, suy ra $f^{\prime }(x)=0$ có một nghiệm duy nhất là $x=\frac{1}{2}$.

Xét bảng biến thiên:



Vậy $\min P=\min f(x)=f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{17}{2}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y=\frac{19}{4}\end{array}$.

c) Giá trị tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu nhóm trên là điểm chia tập giá trị thành 2 phần, với 1 phần là 75\% dữ liệu nằm dưới hoặc bằng giá trị này, phần còn lại thể hiện 25\% dữ liệu nằm trên nó. Trong bài toán này, để chọn được 25\% các bạn có chiều cao cao hơn các bạn còn lại để tham gia phục vụ đại hội thể thao của xã, ta cần tìm giá trị tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu đã cho

Cỡ mẫu $n=2+7+20+31+25+12+3=100\Rightarrow \frac{3}{4}n=75$

Suy ra $Q_3\in [170;175)\Rightarrow Q_3=170+\frac{75-(2+7+20+31)}{25}.(175-170)=173$

Vậy các bạn được chọn có chiều cao từ 173 $cm$ trở lên.

Chọn D
Hàm số xác định trên $\mathbb{R}$ $\iff 6-2(m+1){\cos }^{2}x+m(\sin x-\cos x{)}^2>0$ với $\forall x\in \mathbb{R}$
$\iff m\sin 2x+(m+1)\cos 2x<5$ với $\forall x\in \mathbb{R}$ $\iff {\max }_{x\in \mathbb{R}}\left(m\sin 2x+(m+1)\cos 2x\right)<5$.
$\iff m^2+(m+1{)}^2<25\iff m^2+m-12<0\iff m\in (-4;3)$.
Suy ra $a=-4;b=3\Rightarrow a^2-b^2=7$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=9{\sin }^{2}a-6\sin a=9{\left(\sin a-\frac{1}{3}\right)}^2-1$. Vì $\sin a\in [-1;1]$ nên $t\in [-1;12]$.

Phương trình trở thành $t^2-(11+2P)t+P^2+11P-80=0$ với ẩn $t$. Biệt thức: $(11+2P{)}^2-4(P^2+11P-80)=441$, nên $t=\frac{11+2P\pm 21}{2}$, tức $t=P+16$ hoặc $t=P-5$.

- Nếu $t=P+16$ thì $P=t-16\in [-17;-4]<0$: loại vì $P>0$.
- Nếu $t=P-5$ thì $P=t+5\in [4;17]$, giá trị dương nhỏ nhất $P_0=4$ khi $t=-1$, tức $\sin a_0=\frac{1}{3}$.

Khi đó ${\cos }^2{a}_0=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$, ${\tan }^2{a}_0=\frac{1/9}{8/9}=\frac{1}{8}$.

$$M=(2\cdot 4+8)\cdot \frac{1}{8}+9\cdot 4\cdot \frac{8}{9}=16\cdot \frac{1}{8}+36\cdot \frac{8}{9}=2+32=34.$$

Kết quả khớp với đáp số 34 của nguồn.

Vì $|z|=|w|=|z-w|=2$ nên có thể đặt $z=2e^{i\alpha }$ và $w=2e^{i(\alpha \pm \frac{\pi }{3})}$. Khi đó $\bar{w}=2e^{-i(\alpha \pm \frac{\pi }{3})}$ và $T=|z-i\bar{w}|=2\left|e^{i\alpha }-i{e}^{-i(\alpha \pm \frac{\pi }{3})}\right|=2\left|e^{i(2\alpha \pm \frac{\pi }{3})}-i\right|$. Khi $\alpha$ thay đổi, điểm biểu diễn $e^{i(2\alpha \pm \frac{\pi }{3})}$ chạy trên đường tròn đơn vị nên $M=2(1+1)=4$ và $m=2(1-1)=0$. Vậy $M^2-m^2=16$. Chọn đáp án B.