Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin 150^0=\sin (180^0-30^0)=\sin 30^0=\frac{1}{2}$ và $\sin 170^0=\sin (180^0-10^0)=\sin 10^0$. Do đó $$P=\sin 10^0+\frac{1}{2}-\sin 10^0=\frac{1}{2}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ và $\cot \alpha =-\sqrt{2}<0$ nên $\alpha$ ở góc phần tư thứ II, do đó $\sin \alpha >0$, $\cos \alpha <0$, $\tan \alpha <0$. Ta có $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$, mà $\sin \alpha >0$ nên $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ (chỉ nhận giá trị dương). $\cos \alpha =\cot \alpha \cdot \sin \alpha =-\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$. $\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }=-\frac{1}{\sqrt{2}}$.
a) Đúng: $\alpha$ ở góc phần tư II nên $\sin \alpha >0$.
b) Sai: $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}>0$, không nhận giá trị $-\frac{1}{\sqrt{3}}$.
c) Đúng: $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{6}}{3}$.
d) Sai: $\tan \alpha =-\frac{1}{\sqrt{2}}<0$, không phải $\frac{1}{\sqrt{2}}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cot \alpha <0$ với $0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ suy ra $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ II, nên $\sin \alpha >0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ được ${\sin }^2\alpha =\frac{1}{3}$, nhưng do $\sin \alpha >0$ nên $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$ (chỉ giá trị dương), không phải $\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \alpha =\cot \alpha \cdot \sin \alpha =-\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }=-\frac{1}{\sqrt{2}}<0$, nên mệnh đề $\tan \alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}$ sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a,b$ là hai góc nhọn nên $0<a+b<\pi$. Áp dụng công thức tang của tổng hai góc: $$\tan (a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}=\frac{\frac{1}{7}+\frac{3}{4}}{1-\frac{1}{7}\cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{4+21}{28}}{1-\frac{3}{28}}=\frac{\frac{25}{28}}{\frac{25}{28}}=1.$$ Vì $0<a+b<\pi$ và $\tan (a+b)=1>0$ nên $a+b$ là góc nhọn, do đó $a+b=\frac{\pi }{4}=45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng công thức: A đúng vì $2\sin a\cos a=\sin 2a$. C đúng vì đó là công thức cos của tổng: $\cos a\cos b-\sin a\sin b=\cos (a+b)$. D đúng vì $1+{\cot }^{2}a=\frac{1}{{\sin }^{2}a}$ với $\sin a\ne 0$. B sai: công thức đúng phải là $\sin a\cos b=\frac{1}{2}\left[\cos (a-b)+\cos (a+b)\right]$, còn với $\sin a\cos a$ thì $\sin a\cos a=\frac{1}{2}\sin 2a$, không bằng $\frac{1}{2}\left[\cos (a-b)+\cos (a+b)\right]$ (vì $\cos (a-b)+\cos (a+b)=2\cos a\cos b$). Vậy công thức sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng công thức: A đúng vì $2\sin a\cos a=\sin 2a$. B đúng (ý định của đề) vì $\tan (a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$ (chữ $b$ bị thiếu trong bản in). D đúng vì $1+{\tan }^{2}a=\frac{1}{{\cos }^{2}a}$. C sai vì $\cos a\sin a-\cos b\sin b=\frac{1}{2}\sin 2a-\frac{1}{2}\sin 2b=\sin (a+b)\cos (a-b)$, nói chung không bằng $\cos (a+b)$. Ví dụ $a=b=\frac{\pi }{4}$: vế trái $=0$, vế phải $=\cos \frac{\pi }{2}=0$; nhưng $a=\frac{\pi }{4},b=0$: vế trái $=\frac{1}{2}$, vế phải $=\frac{\sqrt{2}}{2}$, khác nhau. Vậy công thức sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\in \left(\frac{\pi }{3};\pi \right)$ nên $\sin a>0$. Ta có $\sin a=\sqrt{1-{\cos }^{2}a}=\sqrt{1-\frac{1}{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$. Áp dụng công thức cộng: $T=\sin \left(a+\frac{\pi }{6}\right)=\sin a\cos \frac{\pi }{6}+\cos a\sin \frac{\pi }{6}=\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\cdot \frac{1}{2}=\frac{2\sqrt{3}-1}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{15}-\sqrt{5}}{10}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\cos \alpha =\frac{1}{2}$ và $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ nên $\alpha =60^{\circ }$. a) Đúng. b) $\sin \alpha =\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}>0$ nên sai. c) $\tan \alpha =\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$ nên ${\tan }^2\alpha =3$, đúng. d) $P=3{\sin }^2\alpha +4{\cos }^2\alpha =3\cdot \frac{3}{4}+4\cdot \frac{1}{4}=\frac{9}{4}+1=\frac{13}{4}$, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ và $\cos \alpha =\frac{1}{2}=\cos 60^{\circ }$ nên $\alpha =60^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\alpha$ góc nhọn nên $\sin \alpha >0$; cụ thể $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}>0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\sqrt{3}$ nên ${\tan }^2\alpha =3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P=3{\sin }^2\alpha +4{\cos }^2\alpha =3\cdot \frac{3}{4}+4\cdot \frac{1}{4}=\frac{13}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên $\alpha$ ở góc phần tư thứ IV, do đó $\cos \alpha >0$: $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}$. Áp dụng công thức: $\cos \left(\frac{\pi }{3}-\alpha \right)=\cos \frac{\pi }{3}\cos \alpha +\sin \frac{\pi }{3}\sin \alpha =\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{13}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left(-\frac{12}{13}\right)=\frac{5}{26}-\frac{6\sqrt{3}}{13}\approx 0,1923-0,7994\approx -0,6071$. Làm tròn đến hàng phần chục: $-0,6$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0\le \alpha \le \frac{\pi }{2}$ và $\sin \alpha =\frac{3}{5}$ nên $\cos \alpha =\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$ (cos dương).

1) Tính $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)$:
$$\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\sin \alpha \cos \frac{\pi }{3}+\cos \alpha \sin \frac{\pi }{3}=\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{2}+\frac{4}{5}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3+4\sqrt{3}}{10}.$$

2) Tính $\sin 2\alpha$:
$$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{4}{5}=\frac{24}{25}.$$

Vậy $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$ và $\sin 2\alpha =\frac{24}{25}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $(\sin x+\cos x{)}^2=\frac{1}{9}$. Mặt khác $(\sin x+\cos x{)}^2=1+2\sin x\cos x=1+\sin 2x$. Suy ra $\sin 2x=\frac{1}{9}-1=-\frac{8}{9}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức tổng hai cos: $\cos (120^{\circ }+x)+\cos (120^{\circ }-x)=2\cos 120^{\circ }\cos x=2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cos x=-\cos x$. Do đó $P=-\cos x-\cos x=-2\cos x$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức nhân đôi góc: $\sin (x+y)\sin (x-y)={\sin }^{2}x-{\sin }^{2}y$. Với $x=a$, $y=\frac{\pi }{4}$: $P={\sin }^{2}a-{\sin }^2\frac{\pi }{4}={\sin }^{2}a-\frac{1}{2}=\frac{1-\cos 2a}{2}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\cos 2a$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\alpha$ ở góc phần tư thứ II, do đó $\cos \alpha <0$. Với $\sin \alpha =\frac{1}{2}$: $\cos \alpha =-\sqrt{1-\frac{1}{4}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ (chọn dấu âm vì $\cos \alpha <0$), tức $\alpha =\frac{5\pi }{6}$.
a) $\cos \alpha >0$ sai vì $\alpha$ ở góc phần tư II nên $\cos \alpha <0$.
b) $\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$ sai vì $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
c) $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot \frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, đúng.
d) $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =1-2\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{2}=\sin \alpha$, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ (góc phần tư II) nên $\cos \alpha <0$, khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ (dấu âm vì $\alpha$ ở góc phần tư II), khẳng định sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot \frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}=\sin \alpha$, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $x\in [0;\pi ]$ và $\cos x=\frac{5}{13}>0$ nên $x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right)$, do đó $\sin x=\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}$ và $\tan x=\frac{12}{5}$. Áp dụng công thức tổng hai góc: $\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan x+1}{1-\tan x}=\frac{\frac{12}{5}+1}{1-\frac{12}{5}}=\frac{\frac{17}{5}}{-\frac{7}{5}}=-\frac{17}{7}$. Vậy đáp án A.