Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Nhân tử số và mẫu số của $P$ với $\tan \alpha$ (với $\tan \alpha \ne 0$): $P=\frac{1+3{\tan }^2\alpha }{2+{\tan }^2\alpha }$. Vì $\cos \alpha =-\frac{2}{3}$ nên ${\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }-1=\frac{9}{4}-1=\frac{5}{4}$. Do đó $P=\frac{1+3\cdot \frac{5}{4}}{2+\frac{5}{4}}=\frac{\frac{19}{4}}{\frac{13}{4}}=\frac{19}{13}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos \left(\frac{\pi }{3}-x\right)\cos \left(\frac{\pi }{3}+x\right)={\cos }^2\frac{\pi }{3}-{\sin }^{2}x=\frac{1}{4}-{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x-\frac{3}{4}$.
Do đó $\cos x\cos \left(\frac{\pi }{3}-x\right)\cos \left(\frac{\pi }{3}+x\right)=\cos x\left({\cos }^{2}x-\frac{3}{4}\right)={\cos }^{3}x-\frac{3}{4}\cos x=\frac{4{\cos }^{3}x-3\cos x}{4}=\frac{1}{4}\cos 3x$.
Vậy $k=\frac{1}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 1) Với $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ thì $\sin \alpha >0$, nên $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}$.

$\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=2\cdot \frac{25}{169}-1=-\frac{119}{169}$.

$\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)=\sin \alpha \cos \frac{\pi }{6}-\cos \alpha \sin \frac{\pi }{6}=\frac{12}{13}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\left(-\frac{5}{13}\right)\cdot \frac{1}{2}=\frac{12\sqrt{3}+5}{26}$.

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot \frac{12}{13}\cdot \left(-\frac{5}{13}\right)=-\frac{120}{169}$, nên $\tan 2\alpha =\frac{-120/169}{-119/169}=\frac{120}{119}$.

Vì $\frac{\pi }{4}<\frac{\alpha }{2}<\frac{\pi }{2}$ nên $\cos \frac{\alpha }{2}>0$: $\cos \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{5}{13}}{2}}=\sqrt{\frac{4}{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$.

Bài 2) Bình phương hai vế: $(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2=\frac{1}{4}\Rightarrow 1+\sin 2\alpha =\frac{1}{4}\Rightarrow \sin 2\alpha =-\frac{3}{4}$.

Ta có $\cos 2\alpha =(\cos \alpha -\sin \alpha )(\cos \alpha +\sin \alpha )$. Vì $(\cos \alpha -\sin \alpha {)}^2=2-(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2=2-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$ nên $\cos \alpha -\sin \alpha =\pm \frac{\sqrt{7}}{2}$, suy ra $\cos 2\alpha =\pm \frac{\sqrt{7}}{4}$.

Do đó $\sin 4\alpha =2\sin 2\alpha \cos 2\alpha =2\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)\cdot \left(\pm \frac{\sqrt{7}}{4}\right)=\mp \frac{3\sqrt{7}}{8}$, tức $\sin 4\alpha =\pm \frac{3\sqrt{7}}{8}$ (hai giá trị tương ứng với hai khả năng dấu của $\cos \alpha -\sin \alpha$).

(AI giải đề cho tôi)
**Bài 2 (Phần 4)**

**1) Rút gọn:**

a) $E=\frac{1-{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }-{\cos }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }-{\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }-1={\tan }^2\alpha$ (với $\cos \alpha \ne 0$).

b) $F=2({\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x)+4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=2({\sin }^{4}x+2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+{\cos }^{4}x)=2({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x{)}^2=2$.

**2) Chứng minh:**

a) VT $=\frac{(1+\cos 2x)+\sin 2x}{(1-\cos 2x)+\sin 2x}=\frac{2{\cos }^{2}x+2\sin x\cos x}{2{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x}=\frac{2\cos x(\cos x+\sin x)}{2\sin x(\sin x+\cos x)}=\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x=$ VP. (đpcm)

b) VT $=\frac{{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha }{\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }-\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }}=\frac{{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha }{\frac{{\cos }^4\alpha -{\sin }^4\alpha }{{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }}=\frac{({\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha ){\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }{({\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha )({\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha )}={\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha =$ VP. (đpcm)

c) VT $=\frac{\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }-\frac{\sin \beta }{\cos \beta }}{\frac{\cos \beta }{\sin \beta }-\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }}=\frac{\frac{\sin \alpha \cos \beta -\sin \beta \cos \alpha }{\cos \alpha \cos \beta }}{\frac{\cos \beta \sin \alpha -\cos \alpha \sin \beta }{\sin \alpha \sin \beta }}=\frac{\sin (\alpha -\beta )}{\cos \alpha \cos \beta }\cdot \frac{\sin \alpha \sin \beta }{\sin (\alpha -\beta )}=\frac{\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }=\tan \alpha \tan \beta =$ VP. (đpcm)

d) VT $=\frac{({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x{)}^2-4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}{(\sin x+\cos x{)}^2}=\frac{({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x{)}^2}{(\sin x+\cos x{)}^2}=\frac{(\sin x-\cos x{)}^2(\sin x+\cos x{)}^2}{(\sin x+\cos x{)}^2}=(\sin x-\cos x{)}^2=$ VP. (đpcm)

**3)** Vì $ABC$ là tam giác nên $A+B+C=\pi$, suy ra $A+B=\pi -C$. Do đó:
$$\sin (A+B+2C)=\sin (\pi -C+2C)=\sin (\pi +C)=-\sin C.$$ (đpcm)

Tất cả các phép biến đổi đều đúng, các điều kiện xác định (cos, sin khác 0 ở mẫu) được đảm bảo trong miền xác định của từng biểu thức.

(AI giải đề cho tôi)
a) Với $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$, $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ III nên $\sin \alpha <0$, $\cos \alpha <0$ → mệnh đề sai.
b) $\sin \alpha =\frac{1}{3}$, $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha =-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Khi đó $\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)=\cos \alpha \cos \frac{\pi }{6}+\sin \alpha \sin \frac{\pi }{6}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1-2\sqrt{6}}{6}$. Vậy $a=2,b=6$, $a+b=8$ → đúng.
c) $\sin \left(3x+\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow 3x+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{3}+2k\pi$ hoặc $3x+\frac{\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}+2k\pi$, tức $x=-\frac{2\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3}$ hoặc $x=\frac{\pi }{3}+k\frac{2\pi }{3}$. Nghiệm $x=-\frac{\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3}$ đưa ra là sai (thay $k=0$: $\sin 0=0\ne -\frac{\sqrt{3}}{2}$) → mệnh đề sai.
d) Với $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ thì $3x+\frac{\pi }{3}\in \left(\frac{\pi }{3};\frac{3\pi }{2}\right)$. Trên khoảng này, $\sin t=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ chỉ có nghiệm $t=\frac{4\pi }{3}$ (vì $\frac{5\pi }{3}>\frac{3\pi }{2}$), cho $x=\frac{\pi }{3}$. Vậy chỉ có 1 nghiệm → mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Góc phần tư thứ III: sin và cos đều âm.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1-2\sqrt{6}}{6}$, nên $a=2,b=6$, $a+b=8$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm đúng là $x=-\frac{2\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3}$ hoặc $x=\frac{\pi }{3}+k\frac{2\pi }{3}$; họ $x=-\frac{\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3}$ không thỏa.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ chỉ có nghiệm $x=\frac{\pi }{3}$, tức 1 nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-\pi <x<-\frac{\pi }{2}$ nên $x$ thuộc góc phần tư thứ III, do đó $\sin x<0$. Từ $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ ta có $\sin x=-\sqrt{1-\frac{1}{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$, suy ra $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\sqrt{2}$.

Tính từng thành phần:
- $\sin (x+2025\pi )=\sin (x+\pi )=-\sin x=\frac{\sqrt{6}}{3}$.
- $\tan (2025\pi -x)=\tan (\pi -x)=-\tan x=-\sqrt{2}$.

Do đó $T=9\cdot \frac{\sqrt{6}}{3}+\sqrt{3}\cdot (-\sqrt{2})=3\sqrt{6}-\sqrt{6}=2\sqrt{6}\approx 4,90$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là khoảng cách từ vận động viên đến bức tường (đoạn $AH$), $H$ là chân đường vuông góc từ $A$ xuống tường. Theo hình vẽ: $\tan \alpha =\frac{40}{x}$ và $\tan 2\alpha =\frac{90}{x}$. Áp dụng công thức góc kép: $\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }=\frac{2\cdot \frac{40}{x}}{1-\frac{1600}{x^2}}=\frac{80x}{x^2-1600}$. Suy ra $\frac{90}{x}=\frac{80x}{x^2-1600}\Rightarrow 90(x^2-1600)=80x^2\Rightarrow 10x^2=144000\Rightarrow x^2=14400\Rightarrow x=120$ (m). Vậy khoảng cách từ vận động viên đến bức tường bằng $120$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1a) Vì $-\pi <x<0$ và $\cos x=\frac{2}{3}>0$ nên $x$ thuộc góc phần tư thứ IV, do đó $\sin x<0$: $\sin x=-\sqrt{1-\frac{4}{9}}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$.
Suy ra $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{2/3}{-\sqrt{5}/3}=-\frac{2}{\sqrt{5}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$, và $\tan x=-\frac{\sqrt{5}}{2}$.
Áp dụng công thức: $\tan \left(\frac{\pi }{3}-x\right)=\frac{\tan \frac{\pi }{3}-\tan x}{1+\tan \frac{\pi }{3}\tan x}=\frac{\sqrt{3}+\frac{\sqrt{5}}{2}}{1-\frac{\sqrt{15}}{2}}=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2-\sqrt{15}}$.
Nhân với liên hợp $(2+\sqrt{15})$: tử số $(2\sqrt{3}+\sqrt{5})(2+\sqrt{15})=4\sqrt{3}+6\sqrt{5}+2\sqrt{5}+5\sqrt{3}=9\sqrt{3}+8\sqrt{5}$; mẫu $4-15=-11$.
Vậy $\tan \left(\frac{\pi }{3}-x\right)=-\frac{9\sqrt{3}+8\sqrt{5}}{11}$.

Câu 1b) $\sin \left(60^{\circ }-\frac{2x}{3}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin (-45^{\circ })$.
Trường hợp 1: $60^{\circ }-\frac{2x}{3}=-45^{\circ }+k\cdot 360^{\circ }\Rightarrow \frac{2x}{3}=105^{\circ }-k\cdot 360^{\circ }\Rightarrow x=157,5^{\circ }+k\cdot 540^{\circ }=\frac{7\pi }{8}+k\cdot 3\pi$.
Trường hợp 2: $60^{\circ }-\frac{2x}{3}=225^{\circ }+k\cdot 360^{\circ }\Rightarrow \frac{2x}{3}=-165^{\circ }-k\cdot 360^{\circ }\Rightarrow x=-247,5^{\circ }+k\cdot 540^{\circ }=292,5^{\circ }+k\cdot 540^{\circ }=\frac{13\pi }{8}+k\cdot 3\pi$.
Kiểm tra: với $x=\frac{7\pi }{8}$: $60^{\circ }-\frac{2}{3}\cdot 157,5^{\circ }=60^{\circ }-105^{\circ }=-45^{\circ }$, $\sin (-45^{\circ })=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ✓. Với $x=\frac{13\pi }{8}$: $60^{\circ }-195^{\circ }=-135^{\circ }$, $\sin (-135^{\circ })=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ✓.
Vậy tập nghiệm: $S=\left\{\frac{7\pi }{8}+k\cdot 3\pi ;\frac{13\pi }{8}+k\cdot 3\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$ (hoặc theo độ: $x=157,5^{\circ }+k\cdot 540^{\circ }$ hoặc $x=292,5^{\circ }+k\cdot 540^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$).

(AI giải đề cho tôi)
Tại t=0 (nửa đêm), đồ thị cho h=12: h(0)=m+a·cos0=m+a=12. Tại t=12, mực nước thấp nhất h=8: h(12)=m+a·cos(π)=m−a=8. Giải hệ: m=10, a=2 (đều dương, thỏa mãn). Vậy T=m·a=10·2=20, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 20 = 20).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: đồng nhất thức đúng là ${\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a=1$ cùng một góc; ví dụ $a=0,b=\pi$ thì ${\sin }^{2}0+{\cos }^2\pi =1$. Thật ra với $a=0,b=\pi$ ta được $0+1=1$, nhưng với $a=b=\pi /4$ thì $1/2+1/2=1$... xét $a=0,b=\pi /2$: $0+0=0\ne 1$, nên khẳng định sai.

b) Đúng: $f(-x)=(-x{)}^2\sin (-x)=-x^2\sin x=-f(x)$ với mọi $x$, nên hàm số lẻ.

c) Đúng: $f(\pi /2)=\cot (\pi /2)=\frac{\cos (\pi /2)}{\sin (\pi /2)}=\frac{0}{1}=0$.

d) Đúng: $\sin (2x+\pi /3)=\sin x$.
• TH1: $2x+\pi /3=x+k2\pi \Rightarrow x=-\pi /3+2k\pi$; nghiệm dương nhỏ nhất $5\pi /3$.
• TH2: $2x+\pi /3=\pi -x+k2\pi \Rightarrow 3x=2\pi /3+2k\pi \Rightarrow x=\frac{2\pi }{9}+\frac{2k\pi }{3}$.
Với $k=0$: $x=\frac{2\pi }{9}\approx 0,70$ nhỏ hơn $5\pi /3$, vậy $x_0=\frac{2}{9}\pi$, $m+n=2+9=11$. Khẳng định đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồng nhất thức chỉ đúng khi cùng một góc: ${\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a=1$. Ví dụ $a=0,b=\pi /2$ thì ${\sin }^{2}0+{\cos }^2(\pi /2)=0\ne 1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(-x)=(-x{)}^2\sin (-x)=-x^2\sin x=-f(x)$, nên hàm số lẻ.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cot (\pi /2)=\frac{\cos (\pi /2)}{\sin (\pi /2)}=\frac{0}{1}=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình: TH1 $x=-\pi /3+2k\pi$ (nghiệm dương nhỏ nhất $5\pi /3$); TH2 $x=\frac{2\pi }{9}+\frac{2k\pi }{3}$. Nghiệm dương nhỏ nhất là $x_0=\frac{2\pi }{9}$, nên $m+n=2+9=11$.

Đáp án: 110. Ta có $\alpha$ là góc tù thỏa mãn $\cos \alpha =-\frac{1}{3}$ suy ra $\sin \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}$. $$A={\sin }^4\alpha +{\cos }^4\alpha +\sqrt{2}\sin x\cos x={\left({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha \right)}^2-2{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha +\sqrt{2}\sin x\cos x.$$ Suy ra $A=\frac{29}{81}$ nên tổng $a+b=110$. (Nguồn ghi 'sin x cos x' thay vì 'sin α cos α' ở một số chỗ — giữ nguyên theo nguồn.)

Ta có: $\tan \alpha =\frac{CH}{AH}=\frac{13}{x}$ ; $\tan 2\alpha =\frac{BH}{x}\iff \frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }=\frac{BH}{x}=\frac{27}{x}$. Suy ra $\frac{2.\frac{13}{x}}{1-{\left(\frac{13}{x}\right)}^2}=\frac{27}{x}\Rightarrow x\approx 68\text{m}$. Vậy vận động viên nằm bắn cách bức tường 68 mét. (Hướng dẫn chấm trang 11-12 ghi 'nằm bán cách bức tường' — lỗi chính tả có sẵn trong nguồn, giữ nguyên.)

Đáp án: 110. Ta có $\alpha$ là góc tù thỏa mãn $\cos \alpha =-\frac{1}{3}$ suy ra $\sin \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}$. $$A={\sin }^4\alpha +{\cos }^4\alpha +\sqrt{2}\sin x\cos x={\left({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha \right)}^2-2{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha +\sqrt{2}\sin x\cos x.$$ Suy ra $A=\frac{29}{81}$ nên tổng $a+b=110$. (Nguồn ghi 'sin x cos x' thay vì 'sin α cos α' ở một số chỗ — giữ nguyên theo nguồn.)

Ta có: $\tan \alpha =\frac{CH}{AH}=\frac{12}{x}$ ; $\tan 2\alpha =\frac{BH}{x}\iff \frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }=\frac{BH}{x}=\frac{25}{x}$. Suy ra $\frac{2.\frac{12}{x}}{1-{\left(\frac{12}{x}\right)}^2}=\frac{25}{x}\Rightarrow x=60\mathrm{m}$. Vậy vận động viên nằm bắn cách bức tường 60 mét.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha <0$, do đó $\cos \alpha =-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}$. a) $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot \frac{3}{5}\cdot (-\frac{4}{5})=-\frac{24}{25}\ne -\frac{12}{25}$ → Sai. b) $y=\sin (x+\alpha )$ có giá trị lớn nhất bằng 1 → Đúng. c) $\frac{121\pi }{12}=10\pi +\frac{\pi }{12}$ nên $\sin (\alpha +\frac{121\pi }{12})=\sin (\alpha +\frac{\pi }{12})$. Khi đó $\sin (\alpha +\frac{\pi }{12})\cos (\alpha -\frac{\pi }{12})=\frac{1}{2}[\sin 2\alpha +\sin \frac{\pi }{6}]=\frac{1}{2}(-\frac{24}{25}+\frac{1}{2})=\frac{1}{2}\cdot (-\frac{23}{50})=-\frac{23}{100}$ → Đúng. d) $\cos \alpha =-\frac{4}{5}<0$ → Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 102: S, Đ, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \alpha =-\frac{4}{5}$ (góc ở góc phần tư II), nên $\sin 2\alpha =2\cdot \frac{3}{5}\cdot (-\frac{4}{5})=-\frac{24}{25}\ne -\frac{12}{25}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y=\sin (x+\alpha )$ có tập giá trị $[-1;1]$, giá trị lớn nhất bằng 1.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{121\pi }{12}=10\pi +\frac{\pi }{12}$ nên biểu thức là $\sin (\alpha +\frac{\pi }{12})\cos (\alpha -\frac{\pi }{12})=\frac{1}{2}[\sin 2\alpha +\sin \frac{\pi }{6}]=\frac{1}{2}(-\frac{24}{25}+\frac{1}{2})=-\frac{23}{100}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha =-\frac{4}{5}<0$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha <0$, do đó $\cos \alpha =-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}$.
a) $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot \frac{3}{5}\cdot \left(-\frac{4}{5}\right)=-\frac{24}{25}\ne -\frac{12}{25}$ → Sai.
b) Hàm $y=\sin (x+\alpha )$ có giá trị lớn nhất bằng 1 → Đúng.
c) $\frac{121\pi }{12}=10\pi +\frac{\pi }{12}$ nên $\sin \left(\alpha +\frac{121\pi }{12}\right)=\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{12}\right)$. Khi đó $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{12}\right)\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{12}\right)=\frac{1}{2}\left[\sin 2\alpha +\sin \frac{\pi }{6}\right]=\frac{1}{2}\left(-\frac{24}{25}+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{23}{50}\right)=-\frac{23}{100}$ → Đúng.
d) Vì $\alpha$ ở góc phần tư thứ hai nên $\cos \alpha =-\frac{4}{5}<0$ → Sai.
Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 101: a) S, b) Đ, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sin 2\alpha =2\cdot \frac{3}{5}\cdot \left(-\frac{4}{5}\right)=-\frac{24}{25}\ne -\frac{12}{25}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\max \sin (x+\alpha )=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{12}\right)\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{12}\right)=\frac{1}{2}\left[\sin 2\alpha +\sin \frac{\pi }{6}\right]=\frac{1}{2}\left(-\frac{24}{25}+\frac{1}{2}\right)=-\frac{23}{100}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ nên $\cos \alpha =-\frac{4}{5}<0$.

Tập xác định $D=\mathbb{R}$.
$$y=2{\cos }^{2}2x-1-\sqrt{3}\sin 4x=\cos 4x-\sqrt{3}\sin 4x=2\sin \left(\frac{\pi }{6}-4x\right)$$
Vì $-1\le \sin \left(\frac{\pi }{6}-4x\right)\le 1\Rightarrow -2\le y\le 2$
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-2$ khi:
$$\sin \left(\frac{\pi }{6}-4x\right)=-1\iff \frac{\pi }{6}-4x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}.$$ (Thang điểm 0.2 / 0.1 / 0.1 / 0.1)

Tập xác định $D=\mathbb{R}$.
$$y=\sqrt{3}\sin 4x+2{\sin }^{2}2x-1=\sqrt{3}\sin 4x-\cos 4x=2\sin \left(4x-\frac{\pi }{6}\right)$$
$-1\le \sin \left(4x-\frac{\pi }{6}\right)\le 1\Rightarrow -2\le y\le 2$.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2 khi: $\sin \left(4x-\frac{\pi }{6}\right)=1$
$\iff 4x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$. (Thang điểm 0.2 / 0.2 / 0.1)

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức ${\cos }^2{k}^{\circ }+{\cos }^2(90^{\circ }-k^{\circ })=1$. Với $k=1,2,\dots ,44$ ta có 44 cặp, mỗi cặp bằng 1, cộng thêm ${\cos }^{2}45^{\circ }=\frac{1}{2}$ và ${\cos }^{2}90^{\circ }=0$. Vậy $A=44+\frac{1}{2}+0=44,5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (44,5).