Cho biết $\sin \alpha =\frac{1}{2}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\alpha$ ở góc phần tư thứ II, do đó $\cos \alpha <0$. Với $\sin \alpha =\frac{1}{2}$: $\cos \alpha =-\sqrt{1-\frac{1}{4}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ (chọn dấu âm vì $\cos \alpha <0$), tức $\alpha =\frac{5\pi }{6}$.
a) $\cos \alpha >0$ sai vì $\alpha$ ở góc phần tư II nên $\cos \alpha <0$.
b) $\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$ sai vì $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
c) $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot \frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, đúng.
d) $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =1-2\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{2}=\sin \alpha$, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ (góc phần tư II) nên $\cos \alpha <0$, khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ (dấu âm vì $\alpha$ ở góc phần tư II), khẳng định sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot \frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}=\sin \alpha$, đúng.