Cho $\sin \alpha =\frac{3}{5},0\le \alpha \le \frac{\pi }{2}$. Tính $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)$, $\sin 2\alpha$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0\le \alpha \le \frac{\pi }{2}$ và $\sin \alpha =\frac{3}{5}$ nên $\cos \alpha =\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$ (cos dương).

1) Tính $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)$:
$$\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\sin \alpha \cos \frac{\pi }{3}+\cos \alpha \sin \frac{\pi }{3}=\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{2}+\frac{4}{5}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3+4\sqrt{3}}{10}.$$

2) Tính $\sin 2\alpha$:
$$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{4}{5}=\frac{24}{25}.$$

Vậy $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$ và $\sin 2\alpha =\frac{24}{25}$.