Cho hàm số $y=\frac{-2x^2+x-1}{x-1}$ có đồ thị $(C)$. Khi đó

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{-2x^2+x-1}{x-1}$, điều kiện $x-1\ne 0\Rightarrow x\ne 1$, nên tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$, do đó ý a) sai.

Ta có $y^{\prime }=\frac{(-4x+1)(x-1)-(-2x^2+x-1)}{(x-1{)}^2}=\frac{-2x^2+4x}{(x-1{)}^2}=\frac{-2x(x-2)}{(x-1{)}^2}$.

Với $x\in (0;2),x\ne 1$: $-2x(x-2)>0$ và $(x-1{)}^2>0$ nên $y^{\prime }>0$, hàm số đồng biến trên $(0;2)$ → ý b) đúng.

$y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Xét dấu của $y^{\prime }$: $y^{\prime }<0$ khi $x<0$; $y^{\prime }>0$ khi $x\in (0;1)\cup (1;2)$; $y^{\prime }<0$ khi $x>2$. Tại $x=0$: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên hàm đạt cực tiểu tại $x=0$; tại $x=2$: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên hàm đạt cực đại tại $x=2$. Vậy ý c) đúng.

Chia đa thức: $-2x^2+x-1=(x-1)(-2x-1)-2$, nên $y=-2x-1-\frac{2}{x-1}\to -2x-1$ khi $x\to \pm \infty$. Vậy tiệm cận xiên là $y=-2x-1$ → ý d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $x\ne 1$ nên $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-2x(x-2)}{(x-1{)}^2}>0$ với mọi $x\in (0;2),x\ne 1$ nên hàm số đồng biến trên $(0;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-2x(x-2)}{(x-1{)}^2}$; xét dấu: $y^{\prime }<0$ khi $x<0$, $y^{\prime }>0$ khi $x\in (0;1)\cup (1;2)$, $y^{\prime }<0$ khi $x>2$. Tại $x=0$: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ (cực tiểu); tại $x=2$: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ (cực đại). Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y=-2x-1-\frac{2}{x-1}$, nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-(-2x-1)\right]=0$: tiệm cận xiên là $y=-2x-1$.