Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$. Gọi $M$ là điểm trên cạnh $B{B}^{\prime }$ thỏa mãn: $B^{\prime }M=2BM$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;a;0)$, $A^{\prime }(0;0;a)$. Vì $B^{\prime }M=2BM$ nên $BM=\frac{a}{3}$, suy ra $M\left(a;0;\frac{a}{3}\right)$.

a) $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=(0;0;a)+(a;0;0)+(0;a;0)=(a;a;a)$, nên độ dài bằng $a\sqrt{3}\ne 3a$ → Sai.

b) $\overrightarrow{DM}=\left(a;-a;\frac{a}{3}\right)=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ → Đúng.

c) $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(a;0;a)$ còn $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{DC}=(0;0;a)+(0;a;0)=(0;a;a)$, khác nhau → Sai.

d) $\overrightarrow{D^{\prime }{B}^{\prime }}=(a;-a;0)$, $\overrightarrow{DM}\cdot \overrightarrow{D^{\prime }{B}^{\prime }}=a^2+a^2+0=2a^2$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng vectơ là $(a;a;a)$ nên độ dài $a\sqrt{3}\ne 3a$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{DM}=\left(a;-a;\frac{a}{3}\right)=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(a;0;a)\ne (0;a;a)=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{DC}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{DM}\cdot \overrightarrow{D^{\prime }{B}^{\prime }}=a\cdot a+(-a)(-a)+\frac{a}{3}\cdot 0=2a^2$.