Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh bằng 2. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AD,B{B}^{\prime }$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $D(0;2;0)$, $A^{\prime }(0;0;2)$. Khi đó $C^{\prime }(2;2;2)$, $M$ trung điểm $AD$ là $M(0;1;0)$, $N$ trung điểm $B{B}^{\prime }$ là $N(2;0;1)$. Suy ra $\overrightarrow{MN}=(2;-1;1)$ và $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(2;2;2)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{A{C}^{\prime }}=2\cdot 2+(-1)\cdot 2+1\cdot 2=4-2+2=4$.