Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính bằng 20 cm người ta tạo thành một chiếc cột có tiết diện ngang gồm hình vuông và bốn miếng phụ được tô màu đen như hình vẽ dưới đây. Diện tích tiết diện ngang lớn nhất là bao nhiêu $c{m}^2$? ( Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là tâm hình tròn bán kính $R=10$ cm. Tiết diện gồm hình vuông tâm $O$ cạnh $a=2x$ và bốn hình chữ nhật gắn ra ngoài bốn cạnh của hình vuông, sao cho các đỉnh của hình chữ nhật nằm trên đường tròn (miếng phụ chạm tới mặt trụ). Khoảng cách từ tâm đến mỗi cạnh hình vuông là $x$, chiều cao mỗi miếng phụ là $h=\sqrt{100-2x^2}-x$ (đỉnh ngoài của miếng phụ cách tâm $\sqrt{x^2+(x+h{)}^2}=10$). Điều kiện $h\ge 0$ cho $0<x\le 5$.

Diện tích tiết diện:
$$S=a^2+4ah=4x^2+8x\left(\sqrt{100-2x^2}-x\right)=8x\sqrt{100-2x^2}-4x^2.$$

Coi $s=\sqrt{100-2x^2}$, đạo hàm:
$$S^{\prime }=8s-\frac{16x^2}{s}-8x=0⟺s^2-2x^2-xs=0⟺100-4x^2=xs.$$
Bình phương hai vế: $x^2(100-2x^2)=(100-4x^2{)}^2\Rightarrow 18x^4-900x^2+10000=0$, cho $x^2=\frac{50}{3}$ (nghiệm $x^2=\frac{100}{3}$ loại vì $x>5$). Khi đó $x=\sqrt{50/3}$, $s=\sqrt{200/3}$, thỏa $xs=100-4x^2=100/3$.

Diện tích lớn nhất:
$$S_{\max }=8xs-4x^2=8\cdot \frac{100}{3}-4\cdot \frac{50}{3}=\frac{600}{3}=200{\text{ cm}}^2.$$
Vậy diện tích tiết diện ngang lớn nhất bằng $200$ cm².