Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và hàm số $y=f^{\prime }(x)$ là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
[Hình cần kiểm tra lại: p3_f1]

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, $f^{\prime }(x)$ là hàm bậc ba có nghiệm kép tại $x=-2$ (tiếp xúc trục hoành) và nghiệm đơn tại $x=1$, đi qua điểm $(0;-4)$. Suy ra $f^{\prime }(x)=a(x+2{)}^2(x-1)$ với $f^{\prime }(0)=-4a=-4\Rightarrow a=1$, tức $f^{\prime }(x)=(x+2{)}^2(x-1)$ (kiểm tra: $f^{\prime }(-1)=1\cdot (-2)=-2$ khớp đồ thị).
a) Với $x<-2$: $(x+2{)}^2>0$, $x-1<0$ nên $f^{\prime }(x)<0$, hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$, không đồng biến → Sai.
b) $f^{\prime }(x)\le 0$ với $x\le 1$ và $f^{\prime }(x)>0$ với $x>1$; $f^{\prime }$ chỉ đổi dấu một lần tại $x=1$ (tại $x=-2$ nghiệm kép không đổi dấu) nên $f$ chỉ có một điểm cực trị → Sai.
c) $f^{\prime }(2)=(2+2{)}^2(2-1)=16$ → Đúng.
d) $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-x+1=(x+2{)}^2(x-1)-x+1$. Với $x\in \left(-\frac{9}{2};-\frac{7}{2}\right)$: $g^{\prime }(-4)=4\cdot (-5)+5=-15<0$, $g^{\prime }(-3,5)=2,25\cdot (-4,5)+4,5=-5,625<0$, $g^{\prime }(-4,5)=6,25\cdot (-5,5)+5,5=-28,875<0$; nói chung $f^{\prime }(x)<0$ và $-x+1$ nhỏ nên $g^{\prime }(x)<0$ trên khoảng này, $g$ nghịch biến → Đúng. Khớp đáp án mã đề 1201: SSDD.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x<-2$: $f^{\prime }(x)=(x+2{)}^2(x-1)<0$ nên $f$ nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$, khẳng định đồng biến là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=(x+2{)}^2(x-1)$ chỉ đổi dấu một lần (tại $x=1$); tại $x=-2$ nghiệm kép không đổi dấu nên $f$ chỉ có một điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=(x+2{)}^2(x-1)$ nên $f^{\prime }(2)=16\cdot 1=16$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-x+1<0$ trên $\left(-\frac{9}{2};-\frac{7}{2}\right)$ (ví dụ $g^{\prime }(-4)=-15<0$) nên $g$ nghịch biến trên khoảng này.