Cho hàm số $y=f(x)$ đồng biến, liên tục, nhận giá trị dương trên $(0;+\infty )$ và thỏa mãn $f\left(\frac{3}{2}\right)=4$ và $[f^{\prime }(x){]}^2=36(2x+1)f(x)$. Tính $f(4)$:

Chọn D.
Vì hàm số đồng biến và dương nên $f^{\prime }(x)\ge 0$ và $f(x)>0$.
Khai căn hai vế của $[f^{\prime }(x){]}^2=36(2x+1)f(x)$:
$$f^{\prime }(x)=6\sqrt{2x+1}\sqrt{f(x)}⟺\frac{f^{\prime }(x)}{\sqrt{f(x)}}=6\sqrt{2x+1}.$$
Lấy nguyên hàm hai vế:
$$\int \frac{f^{\prime }(x)}{\sqrt{f(x)}}dx=\int 6\sqrt{2x+1}dx⟺2\sqrt{f(x)}=2(2x+1{)}^{\frac{3}{2}}+C.$$
Với $x=\frac{3}{2}$, ta có $2x+1=4$, và $f(3/2)=4$:
$$2\sqrt{4}=2(4{)}^{\frac{3}{2}}+C⟺4=2(8)+C⟺C=4-16=-12.$$
Suy ra $2\sqrt{f(x)}=2(2x+1{)}^{\frac{3}{2}}-12⟺\sqrt{f(x)}=(2x+1{)}^{\frac{3}{2}}-6$.
Tại $x=4$, ta có $2x+1=9$:
$$\sqrt{f(4)}=9^{\frac{3}{2}}-6=27-6=21⟹f(4)=21^2=441.$$