Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn $5\le x\le 2021$ và $3^{x-1}-{\log }_3(x+2)=3^{2y}+2y-x$?

Chọn B.
Phương trình tương đương với:
$$3^{x-1}+x=3^{2y}+2y+{\log }_3(x+2).$$
Biến đổi:
$${\log }_3(x+2)+x+2=3^{2y+1}+2y+1=3^{2y+1}+{\log }_3(3^{2y+1}).$$
Xét hàm số đặc trưng $f(t)=t+{\log }_{3}t$ đồng biến trên $(0;+\infty )$, suy ra:
$$x+2=3^{2y+1}⟺x=3^{2y+1}-2.$$
Vì $5\le x\le 2021$ nên:
$$5\le 3^{2y+1}-2\le 2021⟺7\le 3^{2y+1}\le 2023.$$
Lấy logarit cơ số 3:
$${\log }_{3}7\le 2y+1\le {\log }_{3}2023⟺1.77\le 2y+1\le 6.92⟺0.38\le y\le \mathrm{2.96.}$$
Vì $y\in \mathbb{Z}$ nên $y\in \{1;2\}$.
- Với $y=1⟹x=3^3-2=25$ (thỏa mãn).
- Với $y=2⟹x=3^5-2=241$ (thỏa mãn).
Vậy có đúng $2$ cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn.