Cho hàm số $y=f(x)$. Hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ:



Bất phương trình $e^{\sqrt{x}}\ge m-f(x)$ có nghiệm $x\in [4;16]$ khi và chỉ khi

BPT tương đương $m\le f(x)+e^{\sqrt{x}}$. Để BPT có nghiệm $x\in [4;16]$ thì $m\le {\max }_{[4;16]}[f(x)+e^{\sqrt{x}}]$. Xét hàm số $g(x)=f(x)+e^{\sqrt{x}}$, ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$. Dựa vào bảng biến thiên của $f^{\prime }(x)$, trên $[4;16]$ ta có $f^{\prime }(x)\ge 1>0$, do đó $g^{\prime }(x)>0,\forall x\in [4;16]$, hàm số đồng biến. Do đó ${\max }_{[4;16]}g(x)=g(16)=f(16)+e^4$. Vậy $m\le f(16)+e^4$. Chọn C.