Cho hàm số $y=f(x)$ là hàm đa thức bậc hai và hàm số $F(x)={\int }_1^{x}f(-t+1)dt$ có đồ thị như hình vẽ bên.



Hàm số $y=f(x)$ đạt cực tiểu tại

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 42 chọn đáp án D.

Theo định lý cơ bản của giải tích:
$F^{\prime }(x)=f(-x+1).$
Từ đồ thị của hàm số $F(x)$, ta thấy $F(x)$ có các điểm cực trị tại $x=1$ và $x=-1$ (đồ thị có tiếp tuyến nằm ngang tại các điểm đó).
Do đó $F^{\prime }(x)=0⟺[\begin{array}{l}x=1\\ x=-1\end{array}$.
Suy ra:
$f(-x+1)=0⟺[\begin{array}{l}x=1\\ x=-1\end{array}$
Đặt $u=-x+1\Rightarrow x=1-u$. Khi đó:
- Với $x=1\Rightarrow u=0$.
- Với $x=-1\Rightarrow u=2$.
Do đó $f(u)=0⟺u=0$ hoặc $u=2$.
Nghĩa là phương trình $f(x)=0$ có 2 nghiệm $x=0$ và $x=2$.
Vì $f(x)$ là đa thức bậc hai nên hàm số đạt cực tiểu tại các nghiệm của phương trình $f(x)=0$.
Vậy hàm số $y=f(x)$ đạt cực tiểu tại $x=0$ và $x=2$.

Chọn đáp án D.