Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a\sqrt{2}$ và cạnh bên bằng $a\sqrt{3}$. Gọi $M,N$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $SB$ và $CD$. Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SBC)$. Khi đó $\sin \alpha$ bằng

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 41 chọn đáp án D.

Gọi $O=AC\cap BD$ là tâm hình vuông đáy $ABCD$. Vì chóp tứ giác đều nên $SO\perp (ABCD)$.
$ABCD$ là hình vuông cạnh $a\sqrt{2}\Rightarrow AC=BD=a\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2a\Rightarrow OA=OB=OC=OD=a$.
$SO=\sqrt{S{B}^2-O{B}^2}=\sqrt{(a\sqrt{3}{)}^2-a^2}=a\sqrt{2}$.
Khoảng cách từ $N$ đến $(SBC)$:
Vì $N$ là trung điểm $CD$, kẻ đường qua $N$ song song $BC$ cắt $AB$ tại $P$, $O$ là trung điểm $NP$ nên $ON\parallel BC\Rightarrow ON\parallel (SBC)$.
Do đó $d(N;(SBC))=d(O;(SBC))$.
Tứ diện $O.SBC$ có $OB,OC,SO$ đôi một vuông góc nên:
$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}+\frac{1}{S{O}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{2a^2}=\frac{5}{2a^2}\Rightarrow d(N;(SBC))=h=\frac{a\sqrt{10}}{5}.$
Độ dài đoạn $MN$:
Áp dụng định lý đường trung tuyến trong tam giác $SBD$ và $BCD$ hoặc hệ trục tọa độ, ta tính được:
$MN=\frac{a\sqrt{7}}{2}.$
Do đó:
$\sin \alpha =\frac{d(N;(SBC))}{MN}=\frac{\frac{a\sqrt{10}}{5}}{\frac{a\sqrt{7}}{2}}=\frac{2\sqrt{70}}{35}.$

Chọn đáp án D.