Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn có bán kính $r=2$ và đồ thị (C) của hàm số $y=f(x)$ như hình vẽ. Biết (H) có diện tích $S=\frac{31}{4}$. Ta có ${\int }_{-2}^{2}f(1-x)dx=a\pi +\frac{b}{2}$, tính $a+b$

(AI giải đề cho tôi)
Nửa đường tròn tâm $(1,2)$ bán kính $r=2$, nửa trên: $y=2+\sqrt{4-(x-1{)}^2}$ trên $[-1;3]$. Diện tích phần dưới cung tròn (tính tới trục hoành) gồm hình chữ nhật $4\times 2=8$ và nửa đường tròn $\frac{\pi \cdot 2^2}{2}=2\pi$, tổng $2\pi +8$.

Diện tích (H) giới hạn bởi cung tròn và đồ thị $(C)$:
$$S={\int }_{-1}^3(2+\sqrt{4-(x-1{)}^2}-f(x))dx=(2\pi +8)-{\int }_{-1}^{3}f(x)dx=\frac{31}{4}$$
$$\Rightarrow {\int }_{-1}^{3}f(x)dx=2\pi +8-\frac{31}{4}=2\pi +\frac{1}{4}.$$

Đổi biến $t=1-x$, $dx=-dt$: khi $x=-2\to t=3$, $x=2\to t=-1$, nên
$${\int }_{-2}^{2}f(1-x)dx={\int }_{-1}^{3}f(t)dt=2\pi +\frac{1}{4}=2\pi +\frac{1/2}{2}.$$
Vậy $a=2,b=\frac{1}{2}\Rightarrow a+b=\frac{5}{2}$, khớp đáp án nguồn B (Mã đề 485, Câu 2).