Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ sao cho ${\max }_{x\in [0;10]}f(x)=f(2)=4$. Xét hàm số $g(x)=f(x^3+x)-x^2+2x+m$. Giá trị của tham số $m$ để ${\max }_{x\in [0;2]}g(x)=8$ là

Với $x\in [0;2]$, đặt $u(x)=x^3+x$. Vì $u^{\prime }(x)=3x^2+1>0$ nên $u(x)$ đồng biến trên $[0;2]$, suy ra $u(x)\in [u(0);u(2)]=[0;10]$.
Do đó ${\max }_{x\in [0;2]}f(x^3+x)={\max }_{u\in [0;10]}f(u)=f(2)=4$, đạt tại $u=2⟺x^3+x=2⟺x=1$.
Xét hàm số $v(x)=-x^2+2x+m$ trên $[0;2]$. Ta có $v^{\prime }(x)=-2x+2=0⟺x=1$.
Do đó $v(x)$ cũng đạt giá trị lớn nhất tại $x=1$ với ${\max }_{[0;2]}v(x)=v(1)=1+m$.
Vì cả $f(x^3+x)$ và $v(x)$ đều đạt giá trị lớn nhất tại cùng một điểm $x=1\in [0;2]$, nên:
${\max }_{x\in [0;2]}g(x)=g(1)=f(2)+v(1)=4+(1+m)=5+m$.
Theo bài ra: $5+m=8⟺m=3$. Chọn D.