Cho hàm số $y=f(x)$ thỏa mãn các điều kiện $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2+9+2\sqrt{x^2+9}}$ và $f(4)=1$. Khi đó ${\int }_0^{4}f(x)dx$ bằng

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 47 chọn đáp án C.

Đặt $\{\begin{array}{l}u=f(x)\\ dv=dx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=f^{\prime }(x)dx\\ v=x\end{array}$.
Áp dụng công thức tích phân từng phần:
${\int }_0^{4}f(x)dx=xf(x){|}_0^4-{\int }_0^{4}x{f}^{\prime }(x)dx=4f(4)-{\int }_0^4\frac{x}{x^2+9+2\sqrt{x^2+9}}dx=4-A.$
Tính tích phân $A={\int }_0^4\frac{x}{x^2+9+2\sqrt{x^2+9}}dx$:
Đặt $t=\sqrt{x^2+9}\Rightarrow t^2=x^2+9\Rightarrow tdt=xdx$.
Đổi cận:
- $x=0\Rightarrow t=3$.
- $x=4\Rightarrow t=5$.
Khi đó:
$A={\int }_3^5\frac{tdt}{t^2+2t}={\int }_3^5\frac{dt}{t+2}=\ln |t+2|{|}_3^5=\ln 7-\ln 5=\ln \frac{7}{5}.$
Do đó:
${\int }_0^{4}f(x)dx=4-A=4-\ln \frac{7}{5}=4+\ln \frac{5}{7}.$

Chọn đáp án C.