Cho chóp tam giác đều $S.ABC$. Một mặt cầu tiếp xúc với tia đối của tia $SA$ tại $M$, tiếp xúc với tia đối của tia $BA$ tại $N$ và tiếp xúc với cạnh $SB$ tại $P$. Biết $SM=2a,BN=3a$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ là

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 46 chọn đáp án C.

Vì $SM,SP$ là hai tiếp tuyến kẻ từ $S$ đến mặt cầu nên $SM=SP=2a$.
Tương tự, $BN,BP$ là hai tiếp tuyến kẻ từ $B$ nên $BN=BP=3a$.
Do $P$ nằm trên cạnh $SB$ nên độ dài cạnh bên của chóp là:
$SB=SP+PB=2a+3a=5a.$
Vì $S.ABC$ là chóp tam giác đều nên $SA=SB=SC=5a$.
Lại có $AM,AN$ là hai tiếp tuyến kẻ từ $A$ đến mặt cầu nên $AM=AN$.
Mà $M$ thuộc tia đối của tia $SA$ nên $AM=SA+SM=5a+2a=7a$.
$N$ thuộc tia đối của tia $BA$ nên $AN=AB+BN=AB+3a$.
Do $AM=AN\Rightarrow AB+3a=7a\Rightarrow AB=4a$.
Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $4a$ nên:
$S_{ABC}=\frac{(4a{)}^2\sqrt{3}}{4}=4a^2\sqrt{3}.$
Gọi $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$, ta có $SH\perp (ABC)$.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy:
$AH=\frac{AB}{\sqrt{3}}=\frac{4a}{\sqrt{3}}=\frac{4a\sqrt{3}}{3}.$
Chiều cao của khối chóp:
$SH=\sqrt{S{A}^2-A{H}^2}=\sqrt{(5a{)}^2-{\left(\frac{4a\sqrt{3}}{3}\right)}^2}=\sqrt{25a^2-\frac{16a^2}{3}}=\frac{a\sqrt{59}}{\sqrt{3}}.$
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:
$V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot 4a^2\sqrt{3}\cdot \frac{a\sqrt{59}}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{59}{a}^3}{3}.$

Chọn đáp án C.