Cho hàm số $f(x)=|x^4-2x^2+m|$ ($m$ là tham số thực). Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên $m\in [-10;10]$ sao cho ${\max }_{[1;2]}f(x)+{\min }_{[1;2]}f(x)\ge 10$. Số phần tử của tập $S$ là

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 45 chọn đáp án C.

Xét hàm số $g(x)=x^4-2x^2+m$ trên đoạn $[1;2]$.
$g^{\prime }(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)>0$ với mọi $x\in (1;2)$.
Do đó $g(x)$ đồng biến trên $[1;2]$, suy ra:
$A={\min }_{[1;2]}g(x)=g(1)=m-1,B={\max }_{[1;2]}g(x)=g(2)=m+8.$
Xét các trường hợp của hàm $f(x)=|g(x)|$:
- Trường hợp 1: $m-1\ge 0⟺m\ge 1$.
Khi đó $\min f(x)=m-1$ và $\max f(x)=m+8$.
YCBT $⟺(m-1)+(m+8)\ge 10⟺2m+7\ge 10⟺m\ge \frac{3}{2}$.
Kết hợp $m\in [-10;10]$ và $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{2;3;\dots ;10\}$ (9 giá trị).
- Trường hợp 2: $m+8\le 0⟺m\le -8$.
Khi đó $\min f(x)=-(m+8)=-m-8$ và $\max f(x)=-(m-1)=1-m$.
YCBT $⟺(-m-8)+(1-m)\ge 10⟺-2m-7\ge 10⟺m\le -\frac{17}{2}$.
Kết hợp $m\in [-10;10]$ và $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{-10;-9\}$ (2 giá trị).
- Trường hợp 3: $m-1<0<m+8⟺-8<m<1$.
Khi đó $\min f(x)=0$ và $\max f(x)=\max \{|m-1|;|m+8|\}=\max \{1-m;m+8\}$.
YCBT $⟺\max \{1-m;m+8\}\ge 10⟺1-m\ge 10\text{ hoặc }m+8\ge 10⟺m\le -9\text{ hoặc }m\ge 2$ (không có $m$ nào trong $(-8;1)$).
Tổng hợp lại: $m\in \{-10;-9;2;3;4;5;6;7;8;9;10\}$.
Số phần tử của tập $S$ là $2+9=11$.

Chọn đáp án C.