Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x+3}{x-1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)=\frac{x+3}{x-1}$ có $f^{\prime }(x)=\frac{(x-1)-(x+3)}{(x-1{)}^2}=\frac{-4}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$.

a) Sai. Trên $\left[-\frac{1}{2};0\right]$ hàm số nghịch biến nên GTLN đạt tại $x=-\frac{1}{2}$: $f\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{-\frac{1}{2}+3}{-\frac{1}{2}-1}=\frac{\frac{5}{2}}{-\frac{3}{2}}=-\frac{5}{3}\ne -3$. (Chú ý $f(0)=-3$ là GTNN trên đoạn.)

b) Đúng. $f^{\prime }(x)=\frac{-4}{(x-1{)}^2}<0$ trên tập xác định, không có điểm nào $f^{\prime }(x)=0$, nên hàm số không có cực trị.

c) Đúng. Hàm số xác định khi $x-1\ne 0$, tức $\mathbb{R}\setminus \{1\}=(-\infty ;+\infty )\setminus \{1\}$.

d) Sai. Vì $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, không đồng biến.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên đoạn nên GTLN là $f(-1/2)=-5/3$, không phải $-3$ (giá trị $-3=f(0)$ là GTNN).
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{-4}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$, không có nghiệm $f^{\prime }(x)=0$ nên không có cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $x\ne 1$ nên tập xác định là $(-\infty ;+\infty )\setminus \{1\}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$.