Cho hàm số $y=f(x)=\frac{-x+b}{cx+d}$ có đồ thị như hình vẽ bên

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: tiệm cận đứng $x=0,5$, tiệm cận ngang $y=-0,5$, đồ thị cắt Ox tại $(1;0)$ và cắt Oy tại $(0;-1)$.

Với $f(x)=\frac{-x+b}{cx+d}$: tiệm cận ngang $y=\frac{-1}{c}=-0,5\Rightarrow c=2$; tiệm cận đứng $x=-\frac{d}{c}=0,5\Rightarrow d=-1$; cắt Ox tại $x=b=1$; kiểm tra $f(0)=\frac{b}{d}=-1$ thỏa mãn. Vậy $b=1,c=2,d=-1$.

a) Tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $\left(\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right)$ → Đúng.

b) $b=1>0$, $d=-1<0$ trái dấu → Sai.

c) $f^{\prime }(x)=\frac{c(b-d)}{(cx+d{)}^2}=\frac{2\cdot 2}{(2x-1{)}^2}>0$ nên $f$ tăng trên $[2;5]$. Do đó $\min f=f(2)=\frac{-2+1}{4-1}=-\frac{1}{3}$, còn $f(5)=-\frac{4}{9}$ là giá trị lớn nhất → Sai (đề nói min bằng $-\frac{4}{9}$).

d) Diện tích tứ giác $MHOK$ (H, K là hình chiếu của $M(x;y)$) là $|xy|=\left|x\cdot \frac{-x+1}{2x-1}\right|=2$ với $x>0$.
- Nhánh $0<x<0,5$: $y<0$, $\frac{x(1-x)}{1-2x}=2\iff x^2-5x+2=0\Rightarrow x=\frac{5\pm \sqrt{17}}{2}$; chỉ $x=\frac{5-\sqrt{17}}{2}\approx 0,44$ thỏa $0<x<0,5$.
- Nhánh $x>0,5$: $\frac{x(x-1)}{2x-1}=2\iff x^2-5x+2=0$; chỉ $x=\frac{5+\sqrt{17}}{2}\approx 4,56$ thỏa.
Vậy chỉ có 2 điểm $M$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao của tiệm cận đứng $x=0,5$ và tiệm cận ngang $y=-0,5$, tức $\left(\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị suy ra $c=2$, $d=-1$, $b=1$; vậy $b$ và $d$ trái dấu.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{4}{(2x-1{)}^2}>0$ nên hàm số tăng trên $[2;5]$; giá trị nhỏ nhất là $f(2)=-\frac{1}{3}$, không phải $-\frac{4}{9}$ (đó là giá trị lớn nhất $f(5)$).
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\left|x\cdot \frac{1-x}{2x-1}\right|=2$ với $x>0$ tương đương $x^2-5x+2=0$, cho đúng 2 nghiệm hợp lệ $x=\frac{5\pm \sqrt{17}}{2}$ (mỗi nhánh một nghiệm), nên chỉ có 2 điểm $M$, không phải 3.