Cho hàm số $y=\frac{m}{3}{x}^3-(m-1)x^2+3(m-2)x+2$. Hàm số đạt cực trị tại $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1+2x_2=1$ khi $m=a$ và $m=b$. Hãy tính tổng $a+b$. (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=m{x}^2-2(m-1)x+3(m-2)$. Hàm số đạt cực trị khi $m\ne 0$ và phương trình $y^{\prime }=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ ($\Delta >0$). Theo Vi-ét: $S=x_1+x_2=\frac{2(m-1)}{m}$, $P=x_1{x}_2=\frac{3(m-2)}{m}$. Điều kiện $x_1+2x_2=1$ cho $x_2=1-S$. Vì $x_2$ là nghiệm của $y^{\prime }=0$: $(1-S{)}^2-S(1-S)+P=0\iff 2S^2-3S+1+P=0$. Thay $S,P$ và nhân với $m^2$: $8(m-1{)}^2-6m(m-1)+m^2+3m(m-2)=0\iff 6m^2-16m+8=0\iff 3m^2-8m+4=0\Rightarrow m=2$ hoặc $m=\frac{2}{3}$. Kiểm tra: với $m=2$, $y^{\prime }=2x(x-1)$ có hai nghiệm $0;1$ thỏa $x_1+2x_2=1$ (lấy $x_1=1,x_2=0$); với $m=\frac{2}{3}$, $y^{\prime }=\frac{2}{3}(x^2+x-6)$ có hai nghiệm $-3;2$ thỏa $x_1+2x_2=1$ (lấy $x_1=-3,x_2=2$). Cả hai giá trị hợp lệ, vậy $a+b=2+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}\approx 2,7$, khớp đáp án nguồn.