Cho hàm số $y=\frac{x^2-2x-1}{x+2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2-2x-1}{x+2}=x-4+\frac{7}{x+2}$ với tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$.

a) $y^{\prime }=1-\frac{7}{(x+2{)}^2}=\frac{x^2+4x-3}{(x+2{)}^2}=0\Rightarrow x_{1,2}=-2\pm \sqrt{7}$. Tại $x_1=-2+\sqrt{7}$: $y_1=x_1-4+\frac{7}{x_1+2}=(-6+\sqrt{7})+\sqrt{7}=2\sqrt{7}-6$; tại $x_2=-2-\sqrt{7}$: $y_2=-6-\sqrt{7}-\sqrt{7}=-2\sqrt{7}-6$. Hệ số góc đường thẳng qua hai điểm cực trị: $k=\frac{(2\sqrt{7}-6)-(-2\sqrt{7}-6)}{(-2+\sqrt{7})-(-2-\sqrt{7})}=\frac{4\sqrt{7}}{2\sqrt{7}}=2$. Phương trình: $y=2x+b$, thay điểm $(-2+\sqrt{7};2\sqrt{7}-6)$: $2\sqrt{7}-6=-4+2\sqrt{7}+b\Rightarrow b=-2$. Vậy đường thẳng là $y=2x-2$, cắt trục tung tại điểm có tung độ $-2\ne 2$ → Sai.

b) Từ dạng $y=x-4+\frac{7}{x+2}$, tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của $x=-2$ và $y=x-4$ tức $I(-2;-4)$, không phải $I(-2;4)$ → Sai.

c) ${\lim }_{x\to -2^{\pm }}\frac{x^2-2x-1}{x+2}=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=-2$ → Đúng.

d) Hàm số không xác định tại $x=-2$ nên tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$, không phải $\mathbb{R}$ → Sai.

Kết quả: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Sai — khớp đáp án nguồn (SSĐS, mã đề 3101).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Hai điểm cực trị $(-2\pm \sqrt{7};\pm 2\sqrt{7}-6)$; đường thẳng qua chúng có hệ số góc $2$ và phương trình $y=2x-2$, cắt trục tung tại $-2\ne 2$ nên Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Vì $y=x-4+\frac{7}{x+2}$, tâm đối xứng là $I(-2;-4)$, không phải $(-2;4)$ nên Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) ${\lim }_{x\to -2^{\pm }}\frac{x^2-2x-1}{x+2}=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=-2$: Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Hàm số không xác định tại $x=-2$, tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$ nên Sai.