Cho hàm số $y=-x^2+2x+3$ có đồ thị (P). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=-x^2+2x+3$ với $a=-1<0$ nên parabol có bề lõm hướng xuống dưới.

1) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

2) Đạo hàm: $y^{\prime }=-2x+2$. Cho $y^{\prime }=0\Rightarrow x=1$. Với $x<1$ thì $y^{\prime }>0$; với $x>1$ thì $y^{\prime }<0$.

3) Bảng biến thiên: hàm số đồng biến trên $(-\infty ;1)$, nghịch biến trên $(1;+\infty )$. Giá trị lớn nhất $y_{\max }=y(1)=-1+2+3=4$. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất; khi $x\to \pm \infty$ thì $y\to -\infty$.

4) Đồ thị (P):
- Đỉnh $I(1;4)$.
- Giao với trục $Oy$: thay $x=0$ được $y=3$, điểm $(0;3)$.
- Giao với trục $Ox$: giải $-x^2+2x+3=0\iff x^2-2x-3=0\iff (x-3)(x+1)=0\Rightarrow x=-1$ hoặc $x=3$, tức hai điểm $(-1;0)$ và $(3;0)$.
- Trục đối xứng: đường thẳng $x=1$.

Vẽ: lấy các điểm $(-1;0)$, $(0;3)$, đỉnh $I(1;4)$, $(2;3)$ (đối xứng với $(0;3)$ qua $x=1$), $(3;0)$; nối bằng đường cong parabol bề lõm hướng xuống dưới, đối xứng qua trục $x=1$.