Cho hàm số $y=\frac{-x^2-3x+4}{x-3}$ có đồ thị là $(C)$.

a) Viết phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

b) Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

(AI giải đề cho tôi)
a) Chia đa thức: $\frac{-x^2-3x+4}{x-3}=\frac{(-x-6)(x-3)-14}{x-3}=-x-6-\frac{14}{x-3}$.

Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-(-x-6)\right]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{-14}{x-3}=0$.

Vậy đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là $y=-x-6$.

b) Đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất có tâm đối xứng là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên.

- Tiệm cận đứng: $x=3$.
- Tiệm cận xiên: $y=-x-6$.

Giao điểm: thay $x=3$ vào $y=-x-6$ ta được $y=-3-6=-9$.

Kiểm tra bằng định nghĩa tâm đối xứng $I(3;b)$: với $t\ne 0$,
$f(3+t)+f(3-t)=\left(-3-t-6-\frac{14}{t}\right)+\left(-3+t-6+\frac{14}{t}\right)=-18=2b$, suy ra $b=-9$.

Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số là $I(3;-9)$.