Cho hàm số $y=-x^3-3x^2+4$. Gọi $A,B$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=-x^3-3x^2+4$, có $y^{\prime }=-3x^2-6x=-3x(x+2)$, $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$.
a) $-x^3-3x^2+4=0\iff x^3+3x^2-4=0\iff (x-1)(x+2{)}^2=0$, có nghiệm $x=1$ (nghiệm đơn) và $x=-2$ (nghiệm kép) nên đồ thị chỉ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt → Sai.
b) Với $x<-2$: $y^{\prime }=-3x(x+2)<0$? Thử $x=-3$: $y^{\prime }=-3(-3)(-1)=-9<0$... kiểm tra lại: $-3\cdot (-3)\cdot (-1)=-9<0$, tức $y^{\prime }<0$? Tính lại: $x=-3$, $x+2=-1$, tích $x(x+2)=3>0$, nhân $-3$ cho $-9<0$. Vậy trên $(-\infty ;-2)$ hàm số nghịch biến? Nhưng xét dấu $y^{\prime }=-3x(x+2)$: với $x<-2$, cả $x$ và $x+2$ đều âm nên $x(x+2)>0$, $y^{\prime }<0$ → hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$ → Đúng. (Lưu ý: bảng xét dấu chuẩn: $y^{\prime }>0$ trên $(-2;0)$, $y^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;-2)$ và $(0;+\infty )$.)
c) Điểm cực trị: $A(-2;y(-2))$ với $y(-2)=8-12+4=0$ và $B(0;4)$. Kiểm tra: $y(-2)=-(-8)-3(4)+4=8-12+4=0$. Vậy $A(-2;0)$, $B(0;4)$. Đường thẳng qua hai điểm này có hệ số góc $k=\frac{4-0}{0-(-2)}=2$, phương trình $y=2x+4$ → Đúng.
d) Trên $[-1;2]$: $y(-1)=1-3+4=2$, $y(0)=4$, $y(2)=-8-12+4=-16$. Giá trị nhỏ nhất là $-16$, không phải $4$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$-x^3-3x^2+4=0\iff (x-1)(x+2{)}^2=0$: chỉ hai nghiệm phân biệt $x=1$ và $x=-2$, nên đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-3x(x+2)$; với $x<-2$ thì $x(x+2)>0$ nên $y^{\prime }<0$, hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cực trị tại $x=-2$ ($y=0$) và $x=0$ ($y=4$): $A(-2;0)$, $B(0;4)$, đường thẳng $AB$ có $k=2$, phương trình $y=2x+4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-1;2]$: $y(-1)=2$, $y(0)=4$, $y(2)=-16$. Giá trị nhỏ nhất bằng $-16$, không phải $4$.