Cho hàm số $y=x\sin x$, số nghiệm thuộc $\left[-\frac{\pi }{2};2\pi \right]$ của phương trình $y^{\prime \prime }+y=1$ là

Ta có $y^{\prime }=\sin x+x\cos x$. Đạo hàm cấp hai: $y^{\prime \prime }=\cos x+\cos x-x\sin x=2\cos x-x\sin x$. Do đó phương trình $y^{\prime \prime }+y=1⟺(2\cos x-x\sin x)+x\sin x=1⟺2\cos x=1⟺\cos x=\frac{1}{2}⟺x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Xét các nghiệm trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};2\pi \right]$: các nghiệm thỏa mãn là $x=-\frac{\pi }{3}$, $x=\frac{\pi }{3}$, $x=\frac{5\pi }{3}$. Vậy có đúng $3$ nghiệm.