Cho hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ $(a\ne 0)$ có đồ thị như hình vẽ

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: điểm cực đại $(0;2)$, điểm cực tiểu $(2;-2)$, đồ thị đi qua $(1;0)$ và cắt trục tung tại $y=2$. Suy ra $d=2$, $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ với cực trị tại $x=0$ và $x=2$ nên $c=0$, $6a\cdot 2+2b=0\Rightarrow b=-3a$. Thay $f(1)=0$: $a+b+2=0\Rightarrow a-3a=-2\Rightarrow a=1,b=-3$. Vậy $y=x^3-3x^2+2$. Kiểm tra $f(2)=8-12+2=-2$ đúng. a) Điểm cực đại là $(0;2)$ chứ không phải $(2;0)$ → Sai. b) $f^{\prime }(x)=3x(x-2)>0$ trên $(-\infty ;0)$ nên hàm đồng biến → Đúng. c) $c=0$ → Đúng. d) $f(4)=64-48+2=18\ne 10$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điểm cực đại của đồ thị là $(0;2)$, không phải $(2;0)$ (điểm $(2;-2)$ là điểm cực tiểu).
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $y=x^3-3x^2+2$, ta có $f^{\prime }(x)=3x(x-2)>0$ với mọi $x<0$, nên hàm đồng biến trên $(-\infty ;0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cực trị tại $x=0$ nên $f^{\prime }(0)=c=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $y=x^3-3x^2+2$, ta có $f(4)=64-48+2=18\ne 10$, nên đồ thị không đi qua $(4;10)$.