Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có đồ thị như sau

Đáp án chính thức (mã 201, Phần II, Câu 4): a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng (theo bảng đáp án ĐSĐĐ). Đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại $x=-1$, $x=1$, $x=4$; $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-1)\cup (1;4)$ và $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-1;1)\cup (4;+\infty )$.
a) Trên khoảng $(1;4)$, đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ nằm phía trên trục hoành nên $f^{\prime }(x)>0$, do đó hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng $(1;4)$. → Đúng.
b) Đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại ba điểm $x=-1$, $x=1$, $x=4$ và đổi dấu tại cả ba điểm này, nên hàm số $y=f(x)$ có ba cực trị. → Sai.
c) Vì $f^{\prime }(x)>0$ trên khoảng $(1;4)$ nên hàm số đồng biến trên khoảng này; do $1<2<4$ nên $f(4)>f(2)>f(1)$. → Đúng.
d) Trên đoạn $[-1;4]$: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-1;1)$ nên hàm nghịch biến, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(1;4)$ nên hàm đồng biến. Do đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=1$, tức $mi{n}_{[-1;4]}f(x)=f(1)$. → Đúng.