Cho hàm số $y=g(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $g^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-2)$, $g^{\prime }(x)>0$ trên $(-2;0)$, $g^{\prime }(x)<0$ trên $(0;+\infty )$; $g(-2)=0$, $g(0)=1$, ${\lim }_{x\to 0^{-}}g(x)=+\infty$, ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)=-\infty$, và hàm gián đoạn tại $x=0$ (cột kép).
a) Trên $(0;+\infty )$ có $g^{\prime }(x)<0$ nên hàm nghịch biến → Đúng.
b) Tại $x=0$, dù $g^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nhưng ${\lim }_{x\to 0^{-}}g(x)=+\infty \ne g(0)=1$, hàm số gián đoạn tại $x=0$ nên không đạt cực đại tại đó → Sai.
c) Trên $(-2;0)$, hàm số liên tục, tăng từ $g(-2)=0$ đến $+\infty$, nên phương trình $g(x)=1$ (và $g(x)=0$ tại $x=-2$) có nghiệm; do đó đồ thị luôn cắt trục hoành tại ít nhất một điểm → Đúng.
d) Tiệm cận đứng của $y=\frac{1}{g(x)-1}$: nghiệm của $g(x)=1$. Trên $(-\infty ;-2)$ hàm giảm từ $+\infty$ về $0$ nên có một nghiệm $g(x)=1$; trên $(-2;0)$ hàm tăng từ $0$ đến $+\infty$ nên có một nghiệm; tại $x=0$ có $g(0)=1$ nên $x=0$ cũng là tiệm cận đứng. Vậy $a=3$. Tiệm cận ngang: khi $x\to 0^{-}$, $g\to +\infty$ nên $y\to 0$; khi $x\to +\infty$, $g\to -\infty$ nên $y\to 0$; khi $x\to -\infty$, $g\to +\infty$ nên $y\to 0$. Vậy $b=1$, $a^2+b^2=9+1=10$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;+\infty )$, $g^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số gián đoạn tại $x=0$ vì ${\lim }_{x\to 0^{-}}g(x)=+\infty \ne g(0)=1$, nên không đạt cực đại tại $x=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-2;0)$ hàm liên tục và tăng từ $0$ đến $+\infty$, nên $g(x)=1$ có nghiệm; đồ thị cắt trục hoành tại ít nhất một điểm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=1$ có ba nghiệm (một trên $(-\infty ;-2)$, một trên $(-2;0)$ và $x=0$) nên $a=3$; $y\to 0$ khi $x\to \pm \infty$ và $x\to 0^{-}$ nên $b=1$; $a^2+b^2=10$.