Cho hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ nằm ở hai mặt phẳng khác nhau. Gọi $M$ là trọng tâm $\Delta ABE$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và song song với mặt $(ADF)$. Lấy $N$ là giao điểm của $(P)$ và $AC$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A=\vec{0}$, $B=\vec{b}$, $D=\vec{d}$, $F=\vec{f}$. Vì $ABCD$ và $ABEF$ là hình bình hành nên $C=\vec{b}+\vec{d}$, $E=\vec{b}+\vec{f}$.
a) $EF\parallel AB\parallel DC$ nên $EF\parallel DC$, còn $ED$ không song song $FC$ (vì $\overrightarrow{ED}=\vec{b}+\vec{f}-\vec{d}$ không tỉ lệ $\overrightarrow{FC}=\vec{f}-\vec{b}-\vec{d}$) → $EFDC$ là hình thang. Đúng.
b) $\overrightarrow{FD}=\vec{d}-\vec{f}$ và $\overrightarrow{EC}=\vec{C}-\vec{E}=\vec{d}-\vec{f}$, nên $FD\parallel EC$. Đúng.
c) $AD\parallel BC$ (hình bình hành $ABCD$) và $AF\parallel BE$ (hình bình hành $ABEF$), hai đường thẳng cắt nhau tại $A$ của $(ADF)$ đều song song $(BCE)$ → $(ADF)\parallel (BCE)$. Đúng.
d) Trọng tâm $M=\frac{\vec{b}+\vec{e}}{3}=\frac{2\vec{b}+\vec{f}}{3}$. Lấy $\vec{n}=\vec{d}\times \vec{f}$ làm pháp tuyến của $(ADF)$; $(P)$ qua $M$ có phương trình $(X-M)\cdot \vec{n}=0$. Điểm $N$ trên $AC$: $N=t(\vec{b}+\vec{d})$. Vì $\vec{d}\cdot \vec{n}=0$, $\vec{f}\cdot \vec{n}=0$, ta có $t\vec{b}\cdot \vec{n}=\frac{2\vec{b}\cdot \vec{n}}{3}\Rightarrow t=\frac{2}{3}$. Vậy $\frac{AN}{NC}=\frac{2/3}{1/3}=2\ne 3$. Sai. (Ví dụ kiểm tra: $A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),F(0,0,1)$: $(P)$ là $x=2/3$, $N=(2/3,2/3,0)$, tỉ số $=2$.)
a) (AI giải đề cho tôi)
$EF\parallel AB\parallel DC$ và $ED$ không song song $FC$ nên $EFDC$ là hình thang.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{EC}=\vec{C}-\vec{E}=(\vec{b}+\vec{d})-(\vec{b}+\vec{f})=\vec{d}-\vec{f}=\overrightarrow{FD}$, nên $FD\parallel EC$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$AD\parallel BC$, $AF\parallel BE$ với $AD,AF$ cắt nhau thuộc $(ADF)$ nên $(ADF)\parallel (BCE)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tính toán tọa độ cho $N$ với $AN/AC=2/3$, suy ra $AN/NC=2$, không bằng 3.