Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang ($AD$ là đáy lớn, $BC$ là đáy nhỏ). Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SD$. $K$ là giao điểm của các đường thẳng $AB$ và $CD$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $K=(0,0,0)$, vì $AD\parallel BC$ và $AD=2BC$ nên $\frac{KA}{KB}=\frac{KD}{KC}=2$. Lấy $B=(1,0,0),A=(2,0,0),C=(1,1,0),D=(2,2,0),S=(0,0,3)$. Khi đó $E=(1,0,1.5)$ (trung điểm $SA$), $F=(1,1,1.5)$ (trung điểm $SD$).

a) Mặt phẳng $(CDE)$ chứa đường thẳng $CD$ đi qua $K$, có phương trình $1,5x-1,5y-z=0$. Đường $SB$: $(t,0,3-3t)$, thay vào được $1,5t-(3-3t)=0\Rightarrow t=\frac{2}{3}$, nên $M=\left(\frac{2}{3},0,1\right)$. Đường $KE$: $(s,0,1,5s)$, với $s=\frac{2}{3}$ cho đúng điểm $M$. Vậy $M\in KE$ → đúng.

b) Mặt phẳng $(EFM)$: $EF\parallel Oy$, vectơ pháp tuyến $(-\frac{1}{2},0,\frac{1}{3})$, phương trình $-\frac{x}{2}+\frac{z}{3}=0$ tức $z=1,5x$. Đường $SC$: $(t,t,3-3t)$, giải $3-3t=1,5t\Rightarrow t=\frac{2}{3}$, nên $N=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},1\right)$. Ta có $\overrightarrow{EF}=(0,1,0)$, $\overrightarrow{MN}=(0,\frac{2}{3},0)$: song song nhưng khác độ dài, nên $EFNM$ không là hình bình hành → sai.

c) Đường $AM$ (nằm trong mặt $y=0$) cắt trục $SK$ (trục $Oz$) tại $P=(0,0,1,5)$. Đường $DN$: $(2-\frac{4s}{3},2-\frac{4s}{3},s)$, tại $s=1,5$ cho $(0,0,1,5)=P$. Vậy $AM,DN,SK$ đồng quy tại $P$ → đúng.

d) Nhận thấy $M=\frac{2}{3}E$ và $N=\frac{2}{3}F$ (tọa độ kiểm tra đúng), tức tam giác $KMN$ là ảnh của tam giác $KEF$ qua phép vị tự tâm $K$ tỉ số $\frac{2}{3}$. Do đó $\frac{S_{KMN}}{S_{KEF}}={\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}\ne \frac{2}{3}$ → sai. (Kiểm tra trực tiếp bằng tích có hướng: $S_{KMN}=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{KM}\times \overrightarrow{KN}\right|=\frac{\sqrt{52}}{18}$, $S_{KEF}=\frac{\sqrt{13}}{4}$, tỉ số $=\frac{4}{9}$.)
a) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng (CDE) đi qua K với phương trình 1,5x−1,5y−z=0; giao với SB tại M=(2/3,0,1) thuộc đường KE (vì M=(2/3)·E).
b) (AI giải đề cho tôi)
N=(2/3,2/3,1); EF∥MN nhưng EF=1 còn MN=2/3, hai cạnh đối song song khác độ dài nên EFNM không là hình bình hành.
c) (AI giải đề cho tôi)
AM cắt SK tại P=(0,0,1,5); DN cũng đi qua P (tham số s=1,5), nên ba đường đồng quy.
d) (AI giải đề cho tôi)
M=(2/3)E, N=(2/3)F nên tam giác KMN là vị tự của KEF tâm K tỉ số 2/3; tỉ số diện tích bằng (2/3)²=4/9, không phải 2/3.