Cho hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ nằm ở hai mặt phẳng khác nhau. Gọi $M$ là trọng tâm $△ABE$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và song song với mặt $(ADF)$. Lấy $N$ là giao điểm của $(P)$ và $AC$. Tính tỉ số $\frac{AN}{NC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ gốc $A$: $\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AD}=\vec{d},\overrightarrow{AE}=\vec{e}$. Vì $ABEF$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{BE}=\vec{e}-\vec{b}$. Trọng tâm tam giác $ABE$: $\overrightarrow{AM}=\frac{\vec{b}+\vec{e}}{3}$. Mặt $(ADF)$ có hai vectơ chỉ phương $\vec{d}$ và $\vec{e}-\vec{b}$, nên $(P)$ qua $M$ song song $(ADF)$ gồm các điểm $X$ với $\overrightarrow{MX}=\alpha \vec{d}+\beta (\vec{e}-\vec{b})$. Điểm $N\in AC$ nên $\overrightarrow{AN}=t(\vec{b}+\vec{d})$ vì $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$. Điều kiện $N\in (P)$: $t(\vec{b}+\vec{d})-\frac{\vec{b}+\vec{e}}{3}=\alpha \vec{d}+\beta (\vec{e}-\vec{b})$. So sánh hệ số theo $\vec{e}$: $\beta =-\frac{1}{3}$; theo $\vec{b}$: $t-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\Rightarrow t=\frac{2}{3}$; theo $\vec{d}$: $\alpha =t=\frac{2}{3}$ (thỏa mãn). Vậy $\overrightarrow{AN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$, suy ra $\frac{AN}{NC}=\frac{2/3}{1/3}=2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn.