Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang, $AD//BC$, $AD=2BC$. Gọi $E,F,I$ lần lượt là trung điểm của $SA,AD,SD$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A=(0,0,0)$, $D=(2,0,0)$, $B=(b,1,0)$, $C=(b+1,1,0)$ (vì $AD\parallel BC$, $AD=2BC$), $S=(p,q,h)$ với $h\ne 0$. Khi đó $E=\left(\frac{p}{2},\frac{q}{2},\frac{h}{2}\right)$, $F=(1,0,0)$, $I=\left(\frac{p+2}{2},\frac{q}{2},\frac{h}{2}\right)$.

a) SAI. $(EAF)$ chứa $AE\subset AS$, mà đường thẳng $AS$ cắt mặt phẳng $(SBC)$ tại $S\notin (EAF)$, nên hai mặt phẳng cắt nhau, không song song. Kiểm tra bằng tọa độ: pháp tuyến $(EAF)$ là $\overrightarrow{AF}\times \overrightarrow{AE}=(0,-h,q)$, pháp tuyến $(SBC)$ là $\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{BS}=(0,-h,q-1)$, không cùng phương.

b) SAI. Vì $AD\parallel BC$ và $AD\ne BC$ nên $AD\parallel (SBC)$; giao tuyến của $(SBC)$ và $(SAD)$ là đường thẳng qua $S$ song song với $AD$ (và $BC$), không song song với $AB$.

c) ĐÚNG. Trong tam giác $SAD$: $E$ trung điểm $SA$, $F$ trung điểm $AD$ nên $EF$ là đường trung bình, do đó $EF\parallel SD$; $F$ trung điểm $AD$, $I$ trung điểm $SD$ nên $FI\parallel SA$. Khi đó $(EFB)$ song song với mặt phẳng qua $B$ chứa các đường qua $B$ song song $SD$ và $SA$; kiểm tra bằng tọa độ: pháp tuyến của $(EFB)$ là $\overrightarrow{FE}\times \overrightarrow{FB}=\left(-\frac{h}{2},\frac{h(b-1)}{2},\frac{p}{2}-1-\frac{q(b-1)}{2}\right)$, và $\overrightarrow{CI}=\left(\frac{p-2b}{2},\frac{q-2}{2},\frac{h}{2}\right)$ có $\overrightarrow{CI}\cdot \vec{n}=\frac{h}{4}\left[-(p-2b)+(b-1)(q-2)+(p-2)-q(b-1)\right]=0$. Mặt khác $C\notin (EFB)$ vì $\overrightarrow{CF}\cdot \vec{n}=\frac{h}{2}\ne 0$. Vậy $CI\parallel (EFB)$.

d) ĐÚNG. Giao tuyến của $(SBC)$ và $(SAD)$ là đường thẳng $d$ qua $S$ song song $AD$: $d=(p+t,q,h)$. Đường $FI$: $\left(1+s\frac{p}{2},s\frac{q}{2},s\frac{h}{2}\right)$. Giải hệ được $s=2$, $t=1$, tức $K=(p+1,q,h)$. Hai mặt phẳng $(SBF)$ và $(KCD)$ có cùng vecto pháp tuyến $(h,-(b-1)h,(b-1)q-p+1)$ và phân biệt (do $\overrightarrow{SD}\cdot \vec{n}=h\ne 0$ nên $S\notin (KCD)$). Vậy $(SBF)\parallel (KCD)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$(EAF)$ chứa $AE\subset AS$, mà $AS$ cắt $(SBC)$ tại $S\notin (EAF)$, nên hai mặt phẳng cắt nhau. Tọa độ: pháp tuyến $(0,-h,q)$ và $(0,-h,q-1)$ không cùng phương.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Vì $AD\parallel BC$, $AD\ne BC$ nên $AD\parallel (SBC)$; giao tuyến của $(SBC)$ và $(SAD)$ là đường thẳng qua $S$ song song với $AD$ (và $BC$), không song song với $AB$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAD$: $EF$ là đường trung bình nên $EF\parallel SD$; $FI$ là đường trung bình nên $FI\parallel SA$. Kiểm tra tọa độ: $\overrightarrow{CI}\cdot {\vec{n}}_{(EFB)}=0$ và $C\notin (EFB)$ (vì $\overrightarrow{CF}\cdot \vec{n}=\frac{h}{2}\ne 0$), suy ra $CI\parallel (EFB)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Giao tuyến là đường qua $S$ song song $AD$; giao với $FI$ tại $K=(p+1,q,h)$. Hai mặt phẳng $(SBF)$ và $(KCD)$ có cùng vecto pháp tuyến $(h,-(b-1)h,(b-1)q-p+1)$ và phân biệt (vì $S\notin (KCD)$), nên $(SBF)\parallel (KCD)$.