Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có $SA=AB=4\sqrt{2}$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $O$ là tâm hình vuông $ABCD$, $B\in Ox$, $C\in Oy$, cạnh $AB=4\sqrt{2}$ nên nửa đường chéo $OA=OB=OC=OD=4$: $A(0;-4;0)$, $B(4;0;0)$, $C(0;4;0)$, $D(-4;0;0)$. Vì $SA=4\sqrt{2}$ nên $SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=4$, tức $S(0;0;4)$. Trung điểm $M$ của $AB$ là $M(2;-2;0)$, trọng tâm tam giác $SAB$ là $G=\frac{S+A+B}{3}=\left(\frac{4}{3};-\frac{4}{3};\frac{4}{3}\right)$.

a) $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}=2\overrightarrow{SM}$ với $M$ trung điểm $AB$; $\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=2\overrightarrow{SN}$ với $N$ trung điểm $CD$, $N(-2;2;0)$. Ta có $\overrightarrow{SM}=(2;-2;-4)$, $\overrightarrow{SN}=(-2;2;-4)$, khác nhau nên đẳng thức sai.

b) $\overrightarrow{DM}=(6;-2;0)$, $\overrightarrow{DG}=\left(\frac{16}{3};-\frac{4}{3};\frac{4}{3}\right)$ nên $-2\overrightarrow{DM}+3\overrightarrow{DG}=(-12+16;4-4;0+4)=(4;0;4)=\overrightarrow{DS}$. Đẳng thức đúng.

c) Mặt phẳng $(SBD)$ đi qua $B(4;0;0)$, $D(-4;0;0)$, $S(0;0;4)$ nên là mặt phẳng $y=0$. Đường thẳng $CG$: $\left(\frac{4}{3}t;4-\frac{16}{3}t;\frac{4}{3}t\right)$. Cho $y=0$: $t=\frac{3}{4}$, suy ra $E(1;0;1)$, khi đó $a+b+c=1+0+1=2$. Đúng.

d) Mặt phẳng $(SAC)$ là mặt phẳng $x=0$. Với $F$ thuộc $(SAC)$, $FG+FB$ nhỏ nhất khi $F$ là giao điểm của $(SAC)$ với đường thẳng nối $G$ và phản xạ $B^{\prime }$ của $B(4;0;0)$ qua mặt phẳng $x=0$, tức $B^{\prime }(-4;0;0)$. Đường thẳng $B^{\prime }G$: $\left(-4+\frac{16}{3}t;-\frac{4}{3}t;\frac{4}{3}t\right)$. Cho $x=0$: $t=\frac{3}{4}$, suy ra $F(0;-1;1)$ và $x+y+z=0\ne -1$. Sai.

Kết luận: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}=2\overrightarrow{SM}$ và $\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=2\overrightarrow{SN}$ với $M,N$ lần lượt là trung điểm $AB,CD$. Với $M(2;-2;0)$, $N(-2;2;0)$: $\overrightarrow{SM}=(2;-2;-4)\ne (-2;2;-4)=\overrightarrow{SN}$ nên đẳng thức sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Với $D(-4;0;0)$, $M(2;-2;0)$, $G\left(\frac{4}{3};-\frac{4}{3};\frac{4}{3}\right)$: $\overrightarrow{DM}=(6;-2;0)$, $\overrightarrow{DG}=\left(\frac{16}{3};-\frac{4}{3};\frac{4}{3}\right)$ nên $-2\overrightarrow{DM}+3\overrightarrow{DG}=(4;0;4)=\overrightarrow{DS}$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Mặt $(SBD)$ là $y=0$; đường thẳng $CG$ cắt mặt này tại $t=\frac{3}{4}$ cho $E(1;0;1)$, nên $a+b+c=2$, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Mặt $(SAC)$ là $x=0$. Phản xạ của $B(4;0;0)$ qua mặt này là $B^{\prime }(-4;0;0)$. Đường thẳng $B^{\prime }G$ cắt $x=0$ tại $t=\frac{3}{4}$, tức $F(0;-1;1)$. Khi đó $x+y+z=0\ne -1$, sai.