Cho hình chóp $S.ABC$ có các cạnh $SA$, $SB$, $SC$ đôi một vuông góc và $SA=SB=SC=1$. Gọi $E$ là trung điểm của cạnh $BC$, $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục $S(0;0;0)$, $A(1;0;0)$, $B(0;1;0)$, $C(0;0;1)$. Tam giác $ABC$ đều cạnh $\sqrt{2}$, tâm ngoại tiếp $I\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)$.

a) $(ABC):x+y+z=1$ có pháp tuyến $(1;1;1)$ cùng phương $\overrightarrow{SI}$, nên $SI\perp (ABC)$. Đúng.

b) $d(S,(ABC))=\frac{1}{\sqrt{3}}$ nên $\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{3}}$, $\theta \approx 35,26^{\circ }\ne 45^{\circ }=\widehat{SCA}$. Sai.

c) Góc nhị diện $[S,BC,A]$ là $\widehat{SEA}$ với $E\left(0;\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$: $\cos \widehat{SEA}=\frac{1/2}{\sqrt{1/2}\sqrt{3/2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$, góc $\approx 54,7^{\circ }\ne 45^{\circ }=\widehat{SBA}$. Sai.

d) $d(A,BC)=AE=\sqrt{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(ABC):x+y+z=1$ có pháp tuyến $(1;1;1)$ cùng phương $\overrightarrow{SI}=\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)$, nên $SI\perp (ABC)$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa $SC$ và $(ABC)$: $\sin \theta =\frac{d(S,(ABC))}{SC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ nên $\theta \approx 35,26^{\circ }\ne 45^{\circ }=\widehat{SCA}$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Góc nhị diện $[S,BC,A]$ là $\widehat{SEA}$ ($AE\perp BC$, $SE\perp BC$). Với $E\left(0;\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$: $\cos \widehat{SEA}=\frac{1/2}{\sqrt{1/2}\cdot \sqrt{3/2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$, góc $\approx 54,7^{\circ }\ne 45^{\circ }=\widehat{SBA}$. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,BC)=AE=\sqrt{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$. Đúng.