Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$; $I$ là trung điểm cạnh $SC$. Biết rằng $SO=a$.

(AI giải đề cho tôi)
Chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy a, SO = a (O là tâm đáy), I trung điểm SC.
a) Khoảng cách từ I đến (ABCD): vì I là trung điểm SC nên d(I,(ABCD)) = SO/2 = a/2. Đúng.
b) Gọi H là trung điểm CD, OH = a/2, SH = √(SO² + OH²) = √(a² + a²/4) = a√5/2 ≠ a, nên góc giữa (SCD) và đáy là góc SHO ≠ 90°, hai mặt phẳng không vuông góc. Sai.
c) O, C, D đều nằm trong mặt đáy nên (OCD) ≡ (ABCD), diện tích tam giác OCD = (1/4)a², chiều cao từ I bằng a/2. V(I.OCD) = (1/3)(a²/4)(a/2) = a³/24, còn V(S.ABCD) = (1/3)a²·a = a³/3. Tỉ số bằng 1/8 ≠ 1/16. Sai.
d) Vì AB ∥ CD nên d(AB, SD) = d(A, (SCD)). Tọa hóa: A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0), S(a/2,a/2,a). Mặt phẳng (SCD) có phương trình 2y + az = 2a. Khoảng cách từ A: 2a/√(4+a²) = 2a/√5 = 2a√5/5. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
I là trung điểm SC nên d(I,(ABCD)) = SO/2 = a/2.
b) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa (SCD) và đáy là góc giữa SH và OH với H trung điểm CD: SH = a√5/2 ≠ OH, nên góc ≠ 90°.
c) (AI giải đề cho tôi)
(OCD) trùng mặt đáy, V(I.OCD) = a³/24 = (1/8)V(S.ABCD), không phải 1/16.
d) (AI giải đề cho tôi)
d(AB,SD) = d(A,(SCD)) = 2a/√5 = 2a√5/5.