Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Biết $SA=a\sqrt{2}$ và $SA$ vuông góc với mặt đáy. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SM$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (đường cao tam giác đều), $SA=a\sqrt{2}\perp (ABC)$ nên $SA\perp AM,SA\perp BC$.

a) Vì $BC\perp AM$ và $BC\perp SA$ nên $BC\perp (SAM)$, suy ra $BC\perp AH$. Mặt khác $AH\perp SM$ (giả thiết) nên $AH\perp (SBC)$. — Đúng.

b) Vì $AH\perp (SBC)$ nên hình chiếu của $A$ lên $(SBC)$ là $H$, do đó hình chiếu của đường thẳng $SA$ lên $(SBC)$ là đường thẳng $SH$. — Đúng.

c) $SM=\sqrt{S{A}^2+A{M}^2}=\sqrt{2a^2+\frac{3a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{11}}{2}$. Diện tích tam giác $SAM$: $AH=\frac{SA\cdot AM}{SM}=\frac{a\sqrt{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{11}}{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{\sqrt{11}}=\frac{a\sqrt{66}}{11}\approx 0,74a\ne \frac{6a}{11}$. — Sai.

d) Góc giữa $SA$ và $(SBC)$ là góc giữa $SA$ và $SH$: $\sin \alpha =\frac{AH}{SA}=\frac{\sqrt{66}/11}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{33}}{11}$, nên $\cos \alpha =\sqrt{1-\frac{33}{121}}=\frac{\sqrt{88}}{11}=\frac{2\sqrt{22}}{11}\approx 0,85\ne \frac{\sqrt{11}}{33}$. — Sai.

Khớp với đáp án nguồn: 1a Đúng, 1b Đúng, 1c Sai, 1d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp (SAM)$ nên $BC\perp AH$, kết hợp $AH\perp SM$ suy ra $AH\perp (SBC)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $AH\perp (SBC)$, hình chiếu của $A$ là $H$, nên hình chiếu của $SA$ là $SH$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$AH=\frac{SA\cdot AM}{SM}=\frac{a\sqrt{66}}{11}\approx 0,74a\ne \frac{6a}{11}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \alpha =\frac{AH}{SA}=\frac{\sqrt{33}}{11}$ nên $\cos \alpha =\frac{2\sqrt{22}}{11}\approx 0,85\ne \frac{\sqrt{11}}{33}$.